Задачник «Кванта» / Квант. — 1986. — № 8 / 1986 год / Номера // Архив журнала «Квант»

Изображения страниц

Скачать PDF

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1986. — № 8. — С. 41—50.

Задачи М996‍—‍М998 и М999 а) этого номера предлагались на ХХ Всесоюзной математической олимпиаде школьников. Полный список задач этой олимпиады с решениями будет опубликован в «Кванте» № 11 за этот год.

Открыть в номере

Задачи М996‍—‍М1000; Ф1008‍—‍Ф1012 Задачи М996—М1000; Ф1008—Ф1012 // Квант. — 1986. — № 8. — С. 41—44.

Задача М996
Два одинаковых квадрата в пересечении образуют восьмиугольник. Стороны одного квадрата синие, другого — красные. Докажите, что сумма длин синих сторон восьмиугольника равна сумме длин его красных сторон.
Задача М997
Докажите, что сумма всех чисел вида $\dfrac1{mn}$‍,‍ где $m$‍‍ и $n$‍‍ — натуральные числа, $1\le m\lt n\lt1986$‍,‍ не является целым числом.
Задача М998
Рассмотрим все тетраэдры $AXBY$‍,‍ описанные около данной сферы. Докажите, что при фиксированных точках $A$‍‍ и $B$‍‍ сумма углов четырёхугольника $AXBY$‍,‍ т. е. сумма $$ \angle AXB+\angle XBY+\angle BYA+\angle YAX, $$ не зависит от выбора точек $X$‍‍ и…
Задача М999
1. Докажите, что для любых положительных чисел $a_1$‍,‍ $a_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $a_n$‍‍ выполнено неравенство: $$ \dfrac1{a_1}+\dfrac2{a_1+a_2}+\ldots+\dfrac n{a_1+a_2+\ldots+a_n} \lt 4\left(\dfrac1{a_1}+\dfrac1{a_2}+\ldots+\dfrac1{a_n}\right). $$
Докажите, что константу 4 в правой части неравенства
Задача М1000
В дугу $AB$‍‍ вписана ломаная $AMB$‍‍ из двух отрезков ($AM\gt MB$‍).‍ Докажите, что основание перпендикуляра $KH$‍,‍ опущенного из середины $K$‍‍ дуги $AB$‍‍ на отрезок $AM$‍,‍ делит ломаную пополам: $AH=HM+MB$‍‍…
Задача Ф1008
Текст задачи готовится
Задача Ф1009
Текст задачи готовится
Задача Ф1010
Текст задачи готовится
Задача Ф1011
Текст задачи готовится
Задача Ф1012
Текст задачи готовится

Решения задач М976‍—‍М980; Ф988‍—‍Ф992 Решения задач М976—М980; Ф988—Ф992 // Квант. — 1986. — № 8. — С. 44—50.

Задача М976
Из вершины $A$‍‍ квадрата $ABCD$‍‍ проведены два луча, образующие между собой угол $45^\circ$‍.‍ Один пересекает сторону $BC$‍‍ в точке $E$‍,‍ диагональ $BD$‍‍ — в точке $P$‍,‍ другой — сторону $CD$‍‍ в точке…
Задача М977
Можно ли с помощью операций сложения, вычитания и умножения из многочленов $f(x)$‍‍ и $g(x)$‍‍ получить $x$‍,‍ если:
1. $f(x)=x^2+x$‍,‍ $g(x)=x^2+2$‍;‍
2. $f(x)=x^2+x$‍,‍…
Задача М978
Можно ли в квадрате со стороной 1 расположить два правильных треугольника со сторонами больше $\sqrt{2/3}$‍,‍ не налегающих друг на друга?
Задача М979
Пусть $k$‍‍ и $n$‍‍ — натуральные числа, $k\le n$‍.‍ Назовём набор $k$‍‍ положительных чисел $a_1$‍,‍ $a_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $a_k$‍‍ меньших 1 исключительным, если для любого разбиения $n=n_1+n_2+\ldots+n_k$‍‍…
Задача М980
Внутри выпуклого
1. многоугольника,
2. многогранника
с вершинами $A_1$‍,‍ $A_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $A_n$‍‍ взята точка $O$‍.‍ Докажите, что среди $\dfrac{n(n-1)}{2}$‍‍ углов…
Задача Ф988
Текст задачи готовится
Задача Ф989
Текст задачи готовится
Задача Ф990
Текст задачи готовится
Задача Ф991
Текст задачи готовится
Задача Ф992
Текст задачи готовится

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1986. — № 8. — С. 41—50.

Заглавие: Задачник «Кванта»
Год: 1986
Номер: 8
Страницы: 41—50
Рубрика: Задачник «Кванта»
Описание: Задачник «Кванта» // Квант. — 1986. — № 8. — С. 41‍—‍50.
Ссылка: https://www.kvant.digital/issues/1986/8/zadachnik_kvanta-ffebed4d/
Полный текст: опубликован 03.02.2026

Задачник «Кванта» (1986, № 8)Задачник «Кванта» // Квант. — 1986. — № 8. — С. 41‍—‍50.‍‍

Изображения страниц

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1986. — № 8. — С. 41—50.

Задачи М996‍—‍М1000; Ф1008‍—‍Ф1012 Задачи М996—М1000; Ф1008—Ф1012 // Квант. — 1986. — № 8. — С. 41—44.

Решения задач М976‍—‍М980; Ф988‍—‍Ф992 Решения задач М976—М980; Ф988—Ф992 // Квант. — 1986. — № 8. — С. 44—50.

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1986. — № 8. — С. 41—50.