«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Восемь волейбольных команд провели турнир в один круг (каждая сыграла с каждой один раз). Докажите, что можно выбрать из них такие четыре команды $A$, $B$, $C$, $D$, что $A$ выиграла у $B$, $C$ и…
Последовательность $x_1$, $x_2$, $\ldots$ задаётся условиями $x_1=\dfrac12$, $x_{n+1}=x_n^2+x_n$ ($n=1$, 2, $\ldots$). Найдите целую часть числа $$ \dfrac1{x_1+1}+\dfrac1{x_2+1}+\ldots+\dfrac1{x_{100}+1}. $$
В треугольнике $ABC$ проведены высота $AH$ и биссектриса $BE$. Докажите, что если $\angle BEA=45^\circ$, то и $\angle EHC=45^\circ$.
Двое играют в шахматы с часами. После того как оба сделали по 40 ходов, часы обоих показывали 2 часа 30 минут.
На «шахматной доске» размером $n\times n$ стоит 20 различных фигур. Известно, что каждая фигура с любого поля бьёт не более 20 полей.
Текст задачи готовится
Все стороны выпуклого шестиугольника $ABCDEF$ равны 1. Докажите, что радиус описанной окружности одного из треугольников $ACE$ и $BDF$ не меньше 1.
Обозначим через $\{x\}$ дробную часть числа $x$; $\{x\}=x-[x]$, где $[x]$ — наибольшее целое число, не превосходящее $x$.
На плоскости даны 6 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Проводятся все 15 прямых, соединяющих попарно эти точки. Каково наибольшее число точек (отличных от данных), в которых пересекаются три из этих 15 прямых?
За круглым столом сидят $n$ участников «безумного чаепития». Каждую минуту одна пара соседей меняется местами. Через какое наименьшее время все участники чаепития могут оказаться сидящими в противоположном порядке (так что левые соседи у всех станут правыми и наоборот)? Решите эту…
