Задачник «Кванта» / Квант. — 1986. — № 12 / 1986 год / Номера // Архив журнала «Квант»

Изображения страниц

Скачать PDF

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1986. — № 12. — С. 26—38, 42, 47.

Задачи М1017‍—‍М1019 предлагались на ХХVII Международной математической олимпиаде.

Открыть в номере

Задачи М1016‍—‍М1020; Ф1028‍—‍Ф1032 Задачи М1016—М1020; Ф1028—Ф1032 // Квант. — 1986. — № 12. — С. 26—28.

Задача М1016
Многоугольник описан около окружности с центром $O$‍.‍ Пусть $P$‍‍ — центр масс многоугольника, $K$‍‍ — центр масс его контура. Докажите, что точки $P$‍,‍ $O$‍‍ и $K$‍‍ лежат на одной прямой, причём $PO=2PK$‍.‍…
Задача М1017
Каждой вершине правильного пятиугольника приписано некоторое целое число так, что сумма всех пяти чисел положительна. Разрешается проделать следующую операцию: если трём последовательным вершинам приписаны числа $x$‍,‍ $y$‍,‍ $z$‍‍ и $y\lt0$‍,‍ то эти…
Задача М1018
Пусть $A$‍‍ и $B$‍‍ — соседние вершины правильного $n$‍‍-угольника с центром $O$‍.‍ Треугольник $XYZ$‍,‍ равный треугольнику $OAB$‍,‍ вначале совпадает с ним, а потом движется в плоскости $n$‍‍-угольника так, что…
Задача М1019
На листе клетчатой бумаги отмечено некоторое конечное множество $M$‍‍ узлов (точек пересечения линий сетки). Докажите, что всегда можно окрасить некоторые точки множества $M$‍‍ в белый цвет, а остальные — в красный так, чтобы на каждой линии сетки разность между числом…
Задача М1020
На сфере радиуса 1 проведена:
1. кривая, длина которой меньше $\pi$‍;‍
2. замкнутая кривая, длина которой меньше $2\pi$‍.‍
Докажите, что найдётся плоскость, проходящая через центр сферы, не пересекающая…
Задача Ф1028
Текст задачи готовится
Задача Ф1029
Текст задачи готовится
Задача Ф1030
Текст задачи готовится
Задача Ф1031
Текст задачи готовится
Задача Ф1032
Текст задачи готовится

Решения задач М996‍—‍М1000; Ф1008‍—‍Ф1012 Решения задач М996—М1000; Ф1008—Ф1012 // Квант. — 1986. — № 12. — С. 29—37.

Задача М996
Два одинаковых квадрата в пересечении образуют восьмиугольник. Стороны одного квадрата синие, другого — красные. Докажите, что сумма длин синих сторон восьмиугольника равна сумме длин его красных сторон.
Задача М997
Докажите, что сумма всех чисел вида $\dfrac1{mn}$‍,‍ где $m$‍‍ и $n$‍‍ — натуральные числа, $1\le m\lt n\lt1986$‍,‍ не является целым числом.
Задача М998
Рассмотрим все тетраэдры $AXBY$‍,‍ описанные около данной сферы. Докажите, что при фиксированных точках $A$‍‍ и $B$‍‍ сумма углов четырёхугольника $AXBY$‍,‍ т. е. сумма $$ \angle AXB+\angle XBY+\angle BYA+\angle YAX, $$ не зависит от выбора точек $X$‍‍ и…
Задача М999
1. Докажите, что для любых положительных чисел $a_1$‍,‍ $a_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $a_n$‍‍ выполнено неравенство: $$ \dfrac1{a_1}+\dfrac2{a_1+a_2}+\ldots+\dfrac n{a_1+a_2+\ldots+a_n} \lt 4\left(\dfrac1{a_1}+\dfrac1{a_2}+\ldots+\dfrac1{a_n}\right). $$
Докажите, что константу 4 в правой части неравенства
Задача М1000
В дугу $AB$‍‍ вписана ломаная $AMB$‍‍ из двух отрезков ($AM\gt MB$‍).‍ Докажите, что основание перпендикуляра $KH$‍,‍ опущенного из середины $K$‍‍ дуги $AB$‍‍ на отрезок $AM$‍,‍ делит ломаную пополам: $AH=HM+MB$‍‍…
Задача Ф1008
Текст задачи готовится
Задача Ф1009
Текст задачи готовится
Задача Ф1010
Текст задачи готовится
Задача Ф1011
Текст задачи готовится
Задача Ф1012
Текст задачи готовится

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1986. — № 12. — С. 26—38, 42, 47.

Заглавие: Задачник «Кванта»
Год: 1986
Номер: 12
Страницы: 26—38, 42, 47
Рубрика: Задачник «Кванта»
Описание: Задачник «Кванта» // Квант. — 1986. — № 12. — С. 26‍—‍38, 42, 47.
Ссылка: https://www.kvant.digital/issues/1986/12/zadachnik_kvanta-82ecb858/
Полный текст: опубликован 03.02.2026

Задачник «Кванта» (1986, № 12)Задачник «Кванта» // Квант. — 1986. — № 12. — С. 26‍—‍38, 42, 47.‍‍

Изображения страниц

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1986. — № 12. — С. 26—38, 42, 47.

Задачи М1016‍—‍М1020; Ф1028‍—‍Ф1032 Задачи М1016—М1020; Ф1028—Ф1032 // Квант. — 1986. — № 12. — С. 26—28.

Решения задач М996‍—‍М1000; Ф1008‍—‍Ф1012 Решения задач М996—М1000; Ф1008—Ф1012 // Квант. — 1986. — № 12. — С. 29—37.

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1986. — № 12. — С. 26—38, 42, 47.