Задачник «Кванта» / Квант. — 1985. — № 10 / 1985 год / Номера // Архив журнала «Квант»

Изображения страниц

Скачать PDF

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1985. — № 10. — С. 29—31, 34—40.

Задачи М946‍—‍М950 предлагались на ХI Всероссийской олимпиаде по математике; задачи Ф958‍—‍Ф961 предлагались на заключительном этапе XIX Всесоюзной олимпиады по физике.

Открыть в номере

Задачи М946‍—‍М950; Ф958‍—‍Ф962 Задачи М946—М950; Ф958—Ф962 // Квант. — 1985. — № 10. — С. 29—31, 34.

Задача М946
Две параболы расположены на плоскости так, что их оси взаимно перпендикулярны и параболы пересекаются в четырёх точках. Докажите, что эти четыре точки лежат на одной окружности.
Задача М947
На доске в строку написаны числа $$1\quad\dfrac{1}{2}\quad\dfrac{1}{3}\quad\dfrac{1}{4}\quad{\ldots}\quad\dfrac{1}{10}\quad\dfrac{1}{11}\quad\dfrac{1}{12}.$$
1. Докажите, что как бы мы ни расставили знаки «$+$‍‍» и «$-$‍‍» между этими числами, полученная сумма не будет равна нулю.
2. Какое наименьшее количество написанных чисел…
Задача М948
Правильный треугольник $ABC$‍‍ полностью покрыт пятью меньшими равными правильными треугольниками. Докажите, что треугольник $ABC$‍‍ можно полностью покрыть четырьмя такими треугольниками (эти треугольники разрешается передвигать).
Задача М949
Даны 1985 гирь с массами 1 г, 2 г, 3 г, $\ldots$‍,‍ 1984 г, 1985 г. Можно ли их разделить на пять групп так, чтобы и число гирь, и их суммарная масса были бы одинаковы во всех пяти группах?
Задача М950
Двадцать пять коротышек делят садовые участки в Цветочном городе. Каждый участок представляет собой квадрат $1\times1$‍‍ и все участки вместе составляют квадрат $5\times5$‍.‍ Каждый коротышка находится в ссоре не более, чем с тремя другими коротышками. Докажите, что можно распределить…
Задача Ф958
Текст задачи готовится
Задача Ф959
Текст задачи готовится
Задача Ф960
Текст задачи готовится
Задача Ф961
Текст задачи готовится
Задача Ф962
Текст задачи готовится

Решения задач М926‍—‍М930; Ф938‍—‍Ф942 Решения задач М926—М930; Ф938—Ф942 // Квант. — 1985. — № 10. — С. 34—40.

Задача М926
Докажите, что если $$ x^2+y^2=u^2+v^2=1,\quad xu+yv=0, $$ то $$ x^2+u^2=y^2+v^2=1,\quad xy+uv=0. $$
Задача М927
На плоскости дано конечное множество точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Проведено несколько отрезков с концами в данных точках. Эти отрезки разрешается менять: если какие-то два из них, $AC$‍‍ и $BD$‍,‍ пересекаются, их можно стереть и…
Задача М928
В кинотеатре $N+1$‍‍ мест. Вначале $N$‍‍ человек, имеющие билеты с указанием места (в их числе и Игорь), сели на произвольные $N$‍‍ мест, не глядя на свои билеты. Пришедший последним $(N+1)$‍‍-й зритель хочет занять своё место; если оно занято, —…
Задача М929
Натуральные числа $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍,‍ $d$‍,‍ $e$‍‍ удовлетворяют условию $a^4+b^4+c^4+d^4=e^4$‍.‍ Докажите, что по крайней мере
1. три из них чётны,
2. три делятся на 5,
3. два делятся…
Задача М930
Числа от 1 до 1985 разбиты на 6 множеств. Докажите, что в одном из них найдётся три числа, одно из которых равно сумме двух других (или два числа, из которых одно вдвое больше другого).
Задача Ф938
Текст задачи готовится
Задача Ф939
Текст задачи готовится
Задача Ф940
Текст задачи готовится
Задача Ф941
Текст задачи готовится
Задача Ф942
Текст задачи готовится

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1985. — № 10. — С. 29—31, 34—40.

Заглавие: Задачник «Кванта»
Год: 1985
Номер: 10
Страницы: 29—31, 34—40
Рубрика: Задачник «Кванта»
Описание: Задачник «Кванта» // Квант. — 1985. — № 10. — С. 29‍—‍31, 34‍—‍40.
Ссылка: https://www.kvant.digital/issues/1985/10/zadachnik_kvanta-6005a302/
Полный текст: опубликован 03.02.2026

Задачник «Кванта» (1985, № 10)Задачник «Кванта» // Квант. — 1985. — № 10. — С. 29‍—‍31, 34‍—‍40.‍‍

Изображения страниц

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1985. — № 10. — С. 29—31, 34—40.

Задачи М946‍—‍М950; Ф958‍—‍Ф962 Задачи М946—М950; Ф958—Ф962 // Квант. — 1985. — № 10. — С. 29—31, 34.

Решения задач М926‍—‍М930; Ф938‍—‍Ф942 Решения задач М926—М930; Ф938—Ф942 // Квант. — 1985. — № 10. — С. 34—40.

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1985. — № 10. — С. 29—31, 34—40.