Изображения страниц
Текст статьи Задачи наших читателей // Квант. — 1984. — № 8. — С. 34.
Предлагаемые здесь задачи связаны со статьёй Ю. И. Ионина и А. И. Плоткина «Выбор модуля», опубликованной в «Кванте» № 6 за этот год.
Докажите, что уравнение $$ x^3+y^3=(x+y)^2+(xy)^2 $$ не имеет решений в натуральных числах.
Пусть
$a$ и$b$ — натуральные числа,$p$ — простое число, большее, чем$a$ и$b$. Докажите, что число$(a+b)^p-a^p-b^p$ не делится на$p^3$. Докажите, что
- если числа
$n+1$ и$2n+1$ — квадраты натуральных чисел, то$n$ делится на 24; - если числа
$2n+1$ и$3n+1$ — квадраты натуральных чисел, то$n$ делится на 40; - при любом натуральном
$n$ число$5^n-1$ не делится на$4^n-1$; - при любом натуральном
$n\gt2$ число$5^n-4^n$ не является точным квадратом.
- если числа