Заикин М. И.

Две задачи о числах ФибоначчиЗаикин М. И. Две задачи о числах Фибоначчи // Квант. — 1984. — № 7. — С. 14.‍‍

Докажите следующее свойство чисел Фибоначчи (см. с. 17‍).

1. Произведение и частное двух любых различных, отличных от единицы, чисел Фибоначчи никогда не являются числами Фибоначчи.

Известно, что с возрастанием номеров сами числа Фибоначчи быстро увеличиваются. Так, $f_1=1$‍,‍ но $f_{50}=12\,586\,269\,025$‍‍ и $f_{100}=354\,224\,848\,179\,261\,915\,075$‍.‍ Однако последнюю цифру любого числа найти легко. Действительно

2. Ровно через 60 чисел последняя цифра любого числа Фибоначчи периодически повторяется.

Докажите это.