«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Докажите, что для любого натурального $n$ выполнено равенство $$ [\sqrt{n}]+[\sqrt[3]{n}]+[\sqrt[4]{n}]+\ldots+[\sqrt[n]{n}]=[\log_2{n}]+[\log_3{n}]+[\log_4{n}]+\ldots+[\log_n{n}] $$ ($[x]$ означает целую часть числа $x$).
На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ как на гипотенузах построены вне его прямоугольные треугольники $APB$ и $BQC$ с одинаковыми углами величины $\beta$ при их общей вершине $B$ (см. рис. 1).…
Сумма двух рациональных чисел $x$ и $y$ — натуральное число, сумма обратных к ним чисел $\dfrac1x$ и $\dfrac1y$ — тоже натуральное число. Какими могут быть $x$ и $y$?
Точка $O$ — середина оси прямого кругового цилиндра, $A$ и $B$ — диаметрально противоположные точки окружности нижнего основания цилиндра, $C$ — некоторая точка окружности верхнего основания, не лежащая в плоскости $OAB$.…
Докажите, что для любых натуральных $n$ и $k$ (больших 1) число $n^k$ можно представить в виде суммы $n$ последовательных нечётных чисел.
(Например, $4^3=13+15+17+19$; $7^2=1+3+5+7+9+11+13$; $3^4=25+27+29$.)
Найдите отношение сторон прямоугольного треугольника, если известно, что одна половина гипотенузы (от вершины до середины гипотенузы) видна из центра вписанной окружности под прямым углом.
