«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Задачи М836—М840 предлагались на ХХІV Международной математической олимпиаде.
Пусть $A$ — одна из точек пересечения двух окружностей с центрами $O_1$ и $O_2$, $P_1P_2$ и $Q_1Q_2$ — общие касательные, $M_1$ и $M_2$ — cepeдины хорд $P_1Q_1$ и $P_2Q_2$ этих окружностей…
Пусть $a$, $b$, $c$ — целые положительные числа, каждые два из которых взаимно просты. Докажите, что наибольшее из целых чисел, не представимых в виде $$ xbc+yca+zab $$ (где $x$, $y$, $z$ — неотрицательные…
Все точки, лежащие на сторонах правильного треугольника $ABC$, разбиты на два множества $E_1$ и $E_2$. Верно ли, что для любого такого разбиения в одном из множеств $E_1$ и $E_2$ найдётся тройка вершин прямоугольного…
Можно ли выбрать 1983 натуральных числа, не превосходящих $10^5$, так, чтобы среди выбранных чисел не было ни одной тройки чисел, составляющих арифметическую прогрессию (т. е. ни одной тройки $a$, $b$, $c$, в которой $a+c=2b$)?
Решите уравнение $x^3+x^2+x=-\dfrac{1}{3}.$
Карточки четырёх цветов — $n$ зелёных, $n$ красных, $n$ синих и $n$ жёлтых — сложены стопкой так, что через четыре карточки цвет повторяется (например, 1-я, 5-я, 9-я, $\ldots$ карточки — красные; 2-я, 6-я, $\ldots$ —…
В сетке, изображённой на рисунке 3, каждая ячейка имеет размер $1\times 1$. Можно ли эту сетку представить в виде объединения
Множество $M$ состоит из $k$ попарно не пересекающихся отрезков, лежащих на одной прямой. Известно, что любой отрезок длины, не большей 1, можно расположить на прямой так, чтобы его концы принадлежали множеству $M$. Докажите, что сумма длин отрезков,…
