Текст статьи Нахшин В. А. Понятие определения и определение понятий // Квант. — 1982. — № 9. — С. 50—53, 56.
Петя Шариков пришел из школы невеселый.
— Ты почему такой хмурый сегодня? — спросила его старшая сестра Таня. — Или двойку принес?
— Угу, — ответил Петя.— По истории.
— Новости! — сказала Таня. — Но ты ведь вчера готовился?
— Готовился. И вообще, этот материал я знаю лучше многих в классе: средние века. Уйму книг перечитал об этом.
— Так за что же тебе двойку-то влепили?
— Понятия не имею! Вызывает меня Иван Миронович и говорит: «А сейчас Шариков нам определит понятие “феодализм”.» Я подумал — чего ему понадобилось? Определить — это ведь значит “найти”... — Ясное дело! — вступил в разговор младший брат Пети Коля.— Нам сегодня на математике задали задачку, там надо было определить площадь поля. Значит — найти.
— Ну вот, я так и подумал. И стал искать на карте страны, где был феодализм. Чувствую, что-то не то. А учитель говорит: «Садись, Шариков, ничего-то ты не знаешь!» И поставил двойку!
— Эх ты, — посочувствовала Таня.— Неужели ты не понимаешь, что “определить” — это значит “дать определение”?
— Спасибо, пояснила. «Учиться — заниматься ученьем.» «Гулять — заниматься гуляньем.» А если я спрошу у тебя, что значит “дать определение”, ты скажешь “определить”?
— Нет, я так не скажу! — замотала головой Таня.
— А я знаю, — снова вмешался в разговор младший Шариков. — Мы как раз сейчас по русскому языку проходим: определение — это второстепенный член предложения, отвечающий на вопрос: какой? какая? какие? Например: плохая оценка.
— Выходит, по-твоему, учитель хотел узнать от меня, ка ко й бывает феодализм? Что означает — какой? Хороший, плохой, отсталый, мрачный, несправедливый? Да мало ли можно придумать определений! И все они будут правильными?
— А помнишь, Петя, позавчера по телику была передача “Человек и закон”, и там народный суд вынес “частное определение”, — вспомнил вдруг Коля.
— Да, знаю, это когда пишут на работу кому-то, кто виноват, но кого не осудили. А вот я еще вспомнил: наша классная руководительница сказала, что каждому ученику в школьном саду надо определить участок работы... Значит, в этом случае, выделить, что ли?
— А я помню, папа рассказывал
о том, как начинал работать на заводе и ему определили оклад 120 рублей. Здесь “определили” значит — установили? Назначили?
Странное слово! Сколько значений, и все разные! Чего же хотел учитель от тебя?
Таня сказала:
— Разве вы забыли, что слово может иметь много значений? Между прочим, Петюня, среди всех значений слова “определение? ты не назвал еще одного, а именно: «Определение — это предложение, сообщающее, что означает данное понятие.» А ведь именно этого хотел от тебя учитель. Он хотел, чтобы ты сказал, что означает понятие “феодализм”! А чтобы ты знал, как это надо делать, тебе прежде всего надо знать, что такое “понятие”. Знаешь ли ты это?
— О понятии — не имею никакого понятия, — сострил Петя.
— Шутки в сторону. Дело в том, что слово “понятие” в русском языке тоже имеет разные значения, что видно даже из твоей остроты. Итак, что же такое “понятие”?
Оба Шарикова задумались. Младший сопел, старший вздыхал, но сказать что-либо никто не решился.
— Смотрите, — сказала Таня и быстро нарисовала три разных треугольника.
— Что это такое?
— Треугольник!
— А это?
— И это — треугольник.
— А это?
— И это — треугольник.
— Вопрос, мальчики: почему одним словом “треугольник” вы называете такие разные вещи? Ведь и размеры у них — разные. И цвет — различный. И вообще они мало похожи друг на друга! — Как “почему”! — закричали оба в голос. — Ясное дело! Потому, что все они — треугольники!
— Не ясно. Почему же они треугольники-то?
— Да потому, что у них три угла! — сказал Коля.
— Образованные замкнутой ломаной линией из трех отрезков, — добавил Петя.
— Молодцы! Проследим за вашей мыслью. Вы мысленно отбросили у множества предметов все несущественные признаки и оставили, на ваш взгляд, самый существенный! Вот так и возникает ПОНЯТИЕ! У целого класса предметов, даже, может быть, у бесконечного их множества, отбрасываются несущественные признаки, оставляется один признак — самый общий и самый существенный! И обратите внимание. В данном случае возникает понятие о треугольнике “вообще”, хотя в природе не существует “треугольника вообще”: каждый нарисованный треугольник неповторим! Так вот, друзья мои, запомните раз и навсегда: любая наука начинается именно тогда, когда в`ней возникают поня тия, а не конкретные предметы. — Для чего же науке так уж нужны “понятия”? Не понимаю.
— Не понимаешь? А ты представь на миг, что в геометрии нет понятий, и мы имеем дело с конкретными предметами. Ты знаешь, что сумма углов в треугольнике равна 180°?
— Кто же этого не знает!
— Так вот, — сказала Таня. — У тебя есть конкретный треугольник — деревянный или металлический. Ты прикладываешь к его углам транспортир и убеждаешься: так и есть, в сумме углы составляют 180°. Но это — у твоего, конкретного.
— А у другого, другой формы?
— Снова измерю!
— А нового... у тысячного? У миллионного? Ты затратишь на эти измерения всю жизнь и все равно ничего не докажешь. Можешь ли ты быть уверен, что для миллион первого эта сумма будет такою же? Нет, пока твое предположение не будет доказанным. Когда вы в классе на уроке геометрии доказали эту теорему, вы ведь в своем доказательстве опирались не на конкретный треугольник, нарисованный Ha ‚доске мелом! Вы доказали эту теорему, опираясь на свойства понятия треугольника, и тем самым доказали ее для каждого из представителей этого понятия! Вот, братцы мои, для чего нужны понятия в науке. Они попросту экономят человеку и время, и силы. Впрочем “экономят” — это не то слово. Именно они делают науку возможной. Был такой великий ученый — Анри Пуанкаре. Его спросили: «Что такое математика?» и он ответил: «Математика — это искусетво называть одним и тем же словом разные, на первый взгляд, вещи.»
— Искусство?!
— Да, причем понятия есть не только в математике. В любой науке есть свой круг понятий. А овладеть этим кругом понятий и помогает “определение”.
— А как это определение помогает овладеть понятиями? — спросил Петя.
— Весьма просто, мальчики. Пример из той же геометрии. Что такое квадрат?
— Квадрат? Ромб, у которого все углы прямые.
— Спасибо, Шариков Петр. Вот ты и произнес определение квадрата. Hy, a что же такое — ромб?
— Параллелограмм, у которого все стороны конгруэнтны.
— И снова — определение, на сей раз ромба. А теперь проследим, как ты это сделал. Сперва ты сказал: «Квадрат — это ромб», то есть свел понятие квадрата к понятию ромба. Квадрат есть частный случай ромба, так как каждый квадрат — ромб, но не каждый ромб — квадрат. Если первое понятие есть частный случай второго, то оно называется видовым для второго, а второе — родовым для первого!
— Я это знаю! Потому что и в ботанике есть роды и виды.
— Совершенно верно! Но продолжим наши геометрические рассуждения. Во втором определении родовым понятием стал параллелограмм, а ромб для него видовым, то есть и здесь ты проделал ту же операцию: свел видовое понятие к родовому.
Но это еще не все! Ведь ты не просто указал родовое понятие. Ты отметил, какой именно частный случай родового представляет собой видовое понятие. Квадрат — не просто ромб, а ромб с прямыми углами. Ромб — не просто параллелограмм, а параллелограмм с кон-` груэнтными сторонами. Вывод? В любом определении нового понятия проделываются две операции: вопервых, мы указываем ближайшее родовое понятие, известное ранее, а во-вторых, сообщаем — каким именно частным случаем родового понятия является наше новое понятие).
— Ну, Татьяна, ты — голова! — сказал Петя Шариков своей сестpe.— Ловко ты владеешь этим искусством!
— Я еще только учусь, мальчиKH, — скромно сказала Таня, первокурсница университета.
— А почему ты сказала «ближайшее родовое понятие?» Как это понять?
— Потому что, скажем, для квадрата родовым будет не только ромб, но и параллелограмм, и четырехугольник, и фигура, но тогда определение станет более громоздким. Например: квадратом называется параллелограмм с прямыми углами и конгруэнтными сторонами. Чем дальше родовое понятие, тем больше видовых отличий придется перечислять — это просто неэкономно! А теперь потренируйтесь-ка, мальчики! Вот вам несколько фраз. Являются ли они определениями? «Тигр — это животное.»
— Нет, это — не определение, — сказал Петя.— Здесь все сведено к родовому понятию, но не указано, какой частный случай.
— Верно. А это: «Евклид — знаменитый древнегреческий математик, автор “Начал”.»?
— Да!— воскликнули мальчики.
— Увы, HeT, — сказала Таня.— Определение может быть дано только понятию, а не конкретному объекту, хотя бы человеку. А вот еще фраза: «Бегемот — это гиппопотам.»
*) Первокурсница Таня еще не знает, что не все определения укладываются в эту схему — см., например, «Квант», 1978, № 6, с. 33. (Прим. ред.)
— Нет. Здесь понятие заменено синонимом, но не сведено к родовому.
— Ну, кажется мне, вы всё поняли. Тогда скажите: всякому ли понятию может быть дано определение?
Петя задумался:
— По-видимому, нет, Ведь, давая определение, мы сводим понятие к другому, родовому для него. В свою очередь, для этого родового существует свое родовое. И так далее, и так далее. Если идти все дальше по цепочке определений, мы будем переходить к все более общим понятиям, каждое из которых будет выражаться каким-то словом в языке. Если предположить, что эта цепочка определений продолжается без конца, получится, что в языке бесконечно много слов! Но это не так. Значит, где-то нас ждет остановка.
— Да, ты рассудил оригинально! Ты сейчас дал, я бы сказала, языковое решение общенаучной проблемы. Но дело здесь не столько в ограниченности языка, сколько в существовании самых общих понятий. Вернемся к примеру с квадратом. Мы ведь затронули пока только два звена в цепочке определений. Но ведь можно пойти и дальше. Что такое “параллелограмм”?
— Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
— Идя дальше, можно получить “фигуру”, “ломаную”, “отрезок”, “прямую” и, наконец, “точку”. Здесь мы вынуждены остановиться! Прямая и точка — самые общие понятия в геометрии. Родовых понятий для них не существует. Поэтому им нельзя дать определение!
— Странно! Такие простые и наглядные понятия, а определения дать нельзя. Танюша, а как математики узнали, что нельзя? Как сам Евклид до этого додумался?
— А Евклид, кстати, попытался это сделать. В своих “Началах” он написал «Точка есть то, что не имеет размеров» и «Прямая — линия, которая одинаково ориентирована по отношению ко всем своим точкам.» Евклид явно считал эти фразы определениями.
— Погоди-ка. А чем же они — не определения?
— Давайте разберемся. Первая фраза нехороша уже тем, что “то” — это не родовое понятие для точки. — Ну, хорошо. А может быть попробуем усовершенствовать, — предложил Петя. БзЮ— Почему нельзя сказать так: «Точка — это фигура, не имеющая размеров»?
— Потому что сама “фигура” определяется как “множество точек”. Но что же такое те точки? И второе: “отсутствие точки” ведь тоже не имеет размеров! Так что все это весьма туманно. А по поводу второго “определения” — прямой — Феликс Клейн, немецкий математик, писал: «Смысл его совершенно темен. Например, под него подойдут и окружность, и винтовая линия.»
— И все же мне кажется, что можно придумать определение прямой, — сказал Петя.
— Попытайся! Но должна тебе сказать — до тебя это пытались сделать в течение веков многие математики. И все их усилия оказались тщетными. Потому-то точка и прямая считаются самыми общими понятиями.
— Вот с этим-то я и не согласен.
Ведь “прямая” — частный случай линии, не так ли? — Верно. Итак, начинай свое определение: «Прямая — это линия, которая...
— Которая... которая обладает свойством прямизны. Нет, пожалуй, это нехорошо — само это “свойство прямизны” звучит как самое общее понятие.
— Разумеется.
— Но погоди, я еще не сдаюсь. А почему нельзя сказать: прямая — это линия, расстояние между двумя любыми точками которой короче, чем длина участка любой другой линии, проходящей через те же две точки?
— А что такое расстояние?
— Расстояние — это длина отрезка, соединяющего две точки.
— А что такое отрезок?
— Отрезок — это... это часть прямой. Ага, я понял. «А что такое эта прямая?» Сказка про белого бычка! Но вот тебе еще одно определение. Попробуй-ка придраться: «Прямая — это линия, обладающая тем свойством, что если поместить на нее зрачок глаза, то она будет представляться глазу точкой.».
Таня засмеялась:
— Видишь ли, твое “определение” предполагает, что свет распространяется прямолинейно — иначе ты бы мог увидеть и другие точки. Но что такое прямолинейно? По прямой! И мы опять топчемся на месте.
— Д-да, все это очень интересно. Я все-таки еще попытаюсь подумать. Но почему учителя нам никогда не рассказывают обо всех этих вещах? Ведь все это несложно понять!
— Каких учителей ты имеешь в виду? — Разумеется, по математике.
56
— Но разве материал об определениях и понятиях относится только к математике? Это вопросы общенаучного характера. В любой науке есть свои родовые и видовые понятия. Поэтому все это нельзя отнести к какому-нибудь одному школьному предмету! Этот материал относится к философии, к тому ее разделу, где изучается научное знание.
— Вот здорово! — сказал Коля. — Теперь и мы — философы,
знаем, как строится любая наука. — О нет, мальчики, до такого знания нам с вами еще далеко. Понятия и определения — важные элементы науки, но не самое главное, что в ней есть. — А что главное? Доказательства?
— Нет. Главное — идеи, утверждения.
— А что это такое? Расскажи, Тань!
— Об этом, мальчики, в другой раз. Заговорилась я с вами, опаздываю на лекцию! Подумайте над сегодняшним разговором. Поиграйте в “понятия-определения”, как в “казаки-разбойники”! Дело стоящее, уверяю вас.