«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
В стране, кроме столицы, больше 100 roродов. Столица страны соединена авиалиниями со 100 городами; каждый из остальных городов соединён авиалиниями ровно с 10 городами. Известно, что из любого города можно (быть может, с пересадками) перелететь в любой другой. Докажите, что можно закрыть…
Из последовательности 1, $\dfrac12$, $\dfrac13$, $\dfrac14$, $\dots$ нетрудно выделить арифметическую прогрессию длины три: $\dfrac12$, $\dfrac13$, $\dfrac16$. Можно ли из этой последовательности выбрать арифметическую прогрессию
Какое наименьшее количество чисел необходимо вычеркнуть из последовательности 1, 2, 3, $\dots$, 1982, чтобы ни одно из оставшихся чисел не равнялось произведению двух других оставшихся чисел?
Внутри выпуклого четырёхугольника, у которого сумма шести попарных расстояний между вершинами (т. е. сумма длин всех сторон и диагоналей) равна $S_1$, расположен другой, для которого эта сумма равна $S_2$.
С замкнутой ломаной $A_1A_2\ldots A_m$, где $m$ нечётно, проделывается такая операция: середины её звеньев соединяются $m$ отрезками через одну (середина $A_1A_2$ — с серединой $A_3A_4$, середина $A_2A_3$ — с серединой…
Текст задачи готовится
Каждая сторона треугольника поделена на 3 равные части. Точки деления служат вершинами двух треугольников, пересечение которых — шестиугольник. Найдите площадь этого шестиугольника, если площадь данного треугольника равна $S$.
В точках $A_1$, $A_2$, $\dots$, $A_n$, расположенных по окружности, расставляются в некотором порядке числа $1$, $2$, $\dots$, $n$.
Существует ли бесконечное множество натуральных чисел такое, что ни одно из чисел этого множества и никакая сумма нескольких из них не являются степенью натурального числа ($a^k$, где $k \ge 2$)?
По плоскости ползут несколько черепах, скорости которых равны по величине, но различны по направлениям. Докажите, что, как бы черепахи ни были расположены вначале, через некоторое время они будут находиться в вершинах выпуклого многоугольника.
Положим $$ r_n=\cos^n \dfrac{\pi}{7}+\cos^n \dfrac{3\pi}{7}+\cos^n \dfrac{5\pi}{7}. $$ Найдите
Точка внутри правильного $2n$-угольника соединена с вершинами. Возникшие $2n$ треугольников раскрашены попеременно в голубой и красный цвет. Докажите, что сумма площадей голубых треугольников равна сумме площадей красных
Докажите неравенство $$ a^2+b^2+c^2+2abc \lt 2, $$ где $a$, $b$, $c$ — длины сторон треугольника периметра 2.
Пусть $A$, $B$, $C$ — вершины параллелепипеда, соседние с его вершиной $P$, а $Q$ — вершина, противоположная $P$. Докажите, что
Найдите натуральное число, обладающее таким свойством: если записать рядом его квадрат и его куб, а затем переставить написанные цифры в обратном порядке, получится шестая степень этого числа.
Последовательность $(a_n)$ определяется условиями $$ a_1=0,\quad a_{2n+1}=a_{2n}=n-a_n. $$ (Например, $a_{10}=5-a_5=5-a_4=5-(2-a_2)=3+(1-a_1)=4$.)
