В $k$-м столбце рассматриваемой таблицы стоят числа $k+9n$ ($n=0$, 1, 2,
$\ldots$), т. е. все числа, дающие при делении на 9 остаток $k$. Поскольку
$(k+9n)^2=k^2+9(2nk+9n^2)$, квадраты всех этих чисел также дают один и тот же остаток при делении на 9 и потому стоят в одном столбце.
Пусть дано произвольное число $a=a_1+10a_2+100a_3+\ldots$ Обозначим сумму
его цифр через $\Sigma(a)$, тогда
$\Sigma(a)=a_1+a_2+a_3+\ldots=a-9(a_2+11a_3+\ldots)$, поэтому числа $a$ и $\Sigma(a)$ дают одинаковые остатки при делении на 9 и, значит, стоят в одном столбце. После первого возведения в квадрат произвольного числа $a$ из $k$-го столбца и сложения цифр результата мы получим число $\Sigma(a^2)$,
остаток которого при делении на 9 равен:
$$
\begin{array}{rrrrrrrrr}
k=1&2&3&4&5&6&7&8&9\\
\Sigma(a^2)=1&4&9&7&7&9&13&10&9\mathrlap.
\end{array}
$$
При повторении этих операций число из 1-го, 3-го, 6-го, 8-го или 9-го
столбца остаётся в этом же столбце; числа из 4-го переходят в 7-й и обратно;
из 2-го и 5-го в 7-й, затем в 4-й, опять 7-й и т. д.
Покажем, что после достаточного числа повторений результат станет меньше
27. Если $a$ — $m$-значное число, то $a\ge10^{m-1}$. С другой стороны, число
$a^2$ имеет в этом случае не более $2m$ знаков; следовательно,
$\Sigma(a^2)\le9\cdot2m=18m$. Но $10^{m-1}\gt18m$ при $m\gt3$ (докажите!),
поэтому, если $a$ записывается не менее, чем тремя знаками,
$\Sigma(a^2)\lt a$. Значит, повторяя наши операции, мы можем уменьшать
число, пока оно не станет двузначным. Далее, для любого двузначного числа
$a$ имеем $\Sigma(a^2)\lt18\cdot2=36$, а квадрат любого числа $a\le36$ не превосходит $36^2=1296$, поэтому для суммы его цифр имеем
$\Sigma(a^2)\lt\Sigma(999)=27$ (999 — не квадрат).
Теперь остаётся рассмотреть числа, меньшие 27. Для 1-го и 8-го столбцов
это 19, 10 и 1: $\Sigma(19^2)=10$, $\Sigma(10^2)=1$, a 1 порождает
последовательность 1, 1, 1, $\ldots$ Для 3-го, 6-го и 9-го столбцов — это 18 и 9: $\Sigma(18^2)=9$, $\Sigma(9^2) = 9$, которые порождают
последовательность 9, 81, 9, $\ldots$ Для 4-го столбца — это 22 и 13:
$\Sigma(22^2)=16$, $\Sigma(16^2)=13$, $\Sigma(13^2)=16$, которые порождают
последовательность 13, 169, 16, 256, 13, $\ldots$ Для 2-го, 5-го и 7-го
столбцов получается та же последовательность. Для сравнения советуем
читателю решить задачу № 2 из книги Г. Штейнгауза «Сто задач» (М.,
Наука, 1976).
