Задачник «Кванта» / Квант. — 1982. — № 6 / 1982 год / Номера // Архив журнала «Квант»

Изображения страниц

Скачать PDF

Задачи М746‍—‍М750; Ф758‍—‍Ф762 Задачи М746—М750; Ф758—Ф762 // Квант. — 1982. — № 6. — С. 19—22.

Задача М746
Бумажный квадрат складывается пополам по некоторой прямой $l$‍,‍ проходящей через его центр, в (невыпуклый) девятиугольник.
1. Как нужно провести прямую $l$‍,‍ чтобы полученный девятиугольник имел наибольшую…
Задача М747
1. Сумма $n$‍‍ чисел равна $0$‍,‍ сумма их модулей равна $a$‍.‍ Докажите, что разность между наибольшим и наименьшим из них не меньше $\dfrac{2a}n$‍.‍
2. Внутри выпуклого…
Задача М748
1. Можно ли разместить на плоскости конечное число парабол так, чтобы их внутренние области покрыли всю плоскость? (Внутренней областью параболы мы называем выпуклую фигуру, границей которой служит эта парабола — см. рис. 2.)
Задача М749
1. Докажите, что если $x_1$‍,‍ $x_2$‍,‍ $x_3$‍‍ — положительные числа, то $$ \dfrac{x_1}{x_2+x_3}+\dfrac{x_2}{x_3+x_1}+\dfrac{x_3}{x_1+x_2}\ge\dfrac32; $$ при каком условии это неравенство превращается в равенство?
2. Докажите, что если $x_1$‍,‍ $x_2$‍,‍…
Задача М750
Докажите, что, как бы ни раскрасить клетки бесконечного листа клетчатой бумаги в $N$‍‍ цветов, найдутся
1. прямоугольник, вершины которого лежат в центрах клеток одного цвета (а стороны идут параллельно линиям сетки — по…
Задача Ф758
[MISSING TEXT]
Задача Ф759
[MISSING TEXT]
Задача Ф760
[MISSING TEXT]
Задача Ф761
[MISSING TEXT]
Задача Ф762
[MISSING TEXT]

Решения задач М706‍—‍М710; Ф718‍—‍Ф722 Решения задач М706—М710; Ф718—Ф722 // Квант. — 1982. — № 6. — С. 23—30.

Задача М706
Из центра каждой из двух данных окружностей проведены касательные к другой окружности. Докажите, что хорды, соединяющие точки пересечения касательных с окружностями (на рисунке 1 эти хорды показаны красным цветом), имеют одинаковые длины.
Задача М707
Каждый из учеников класса занимается не более чем в двух кружках, причём для любой пары учеников существует кружок, в котором они занимаются вместе. Докажите, что найдётся кружок, где занимаются не менее $\dfrac{2}{3}$‍‍ учеников этого класса.
Задача М708
На сторонах выпуклого четырёхугольника площади $S$‍‍ вне его построены квадраты, центры которых служат вершинами нового четырёхугольника площади $S_1$‍.‍ Докажите, что
1. $S_1\ge 2S$‍;‍
2. $S_1=2S$‍‍ в том и…
Задача М709
Пол комнаты, имеющий форму правильного шестиугольника со стороной 10, заполнен плитками, имеющими форму ромба со стороной 1 и острым углом $60^\circ$‍.‍ Разрешается вынуть три плитки, составляющие правильный шестиугольник со стороной 1, и заменить их расположение другим…
Задача М710
[MISSING TEXT]
Задача Ф718
[MISSING TEXT]
Задача Ф719
[MISSING TEXT]
Задача Ф720
[MISSING TEXT]
Задача Ф721
[MISSING TEXT]
Задача Ф722
[MISSING TEXT]

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1982. — № 6. — С. 19—30, 34, 57.

Заглавие: Задачник «Кванта»
Год: 1982
Номер: 6
Страницы: 19—30, 34, 57
Рубрика: Задачник «Кванта»
Описание: Задачник «Кванта» // Квант. — 1982. — № 6. — С. 19‍—‍30, 34, 57.
Ссылка: https://www.kvant.digital/issues/1982/6/zadachnik_kvanta-a967b5e6/
Полный текст: опубликован 19.10.2025

Задачник «Кванта» (1982, № 6)Задачник «Кванта» // Квант. — 1982. — № 6. — С. 19‍—‍30, 34, 57.‍‍

Изображения страниц

Задачи М746‍—‍М750; Ф758‍—‍Ф762 Задачи М746—М750; Ф758—Ф762 // Квант. — 1982. — № 6. — С. 19—22.

Решения задач М706‍—‍М710; Ф718‍—‍Ф722 Решения задач М706—М710; Ф718—Ф722 // Квант. — 1982. — № 6. — С. 23—30.

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1982. — № 6. — С. 19—30, 34, 57.