«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Бумажный квадрат складывается пополам по некоторой прямой $l$, проходящей через его центр, в (невыпуклый) девятиугольник.
Докажите, что, как бы ни раскрасить клетки бесконечного листа клетчатой бумаги в $N$ цветов, найдутся
Из центра каждой из двух данных окружностей проведены касательные к другой окружности. Докажите, что хорды, соединяющие точки пересечения касательных с окружностями (на рисунке 1 эти хорды показаны красным цветом), имеют одинаковые длины.
Каждый из учеников класса занимается не более чем в двух кружках, причём для любой пары учеников существует кружок, в котором они занимаются вместе. Докажите, что найдётся кружок, где занимаются не менее $\dfrac{2}{3}$ учеников этого класса.
На сторонах выпуклого четырёхугольника площади $S$ вне его построены квадраты, центры которых служат вершинами нового четырёхугольника площади $S_1$. Докажите, что
Пол комнаты, имеющий форму правильного шестиугольника со стороной 10, заполнен плитками, имеющими форму ромба со стороной 1 и острым углом $60^\circ$. Разрешается вынуть три плитки, составляющие правильный шестиугольник со стороной 1, и заменить их расположение другим…
Существует ли последовательность различных натуральных чисел $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$, ни один из членов которой не равен сумме нескольких других, такая что (при всех $n=1$, 2, $\ldots$)
