Асламазов Л. Г.

‍,

Кикоин И. К.

Что такое волна?Асламазов Л. Г., Кикоин И. К. Что такое волна? // Квант. — 1982. — № 6. — С. 2‍—‍7.‍‍

Бросая в воду камешки, смотри на круги, ими образуемые; иначе такое бросание будет пустою забавою.

Козьма Прутков. Плоды раздумья

Понятие волны нам кажется очевидным, и мы интуитивно связываем его с каким-то движением. Бросим в воду камень по поверхности воды побежит волна. Но если на воде в это время плавает ветка, то мы заметим, что она вовсе не смещается в направлении распространения волны, а совершает колебательное движение вверх-вниз. Что же перемещается при распространении волны? Рассмотрим несколько примеров. Говорят, что императрица Елизавета, дочь Петра I, пожелала, чтобы торжественный момент её коронации был отмечен артиллерийским салютом с Петропавловской крепости в новой столице — Петербурге. А по закону коронация русских царей проходила в Успенском соборе в Москве. В наше время передать любую информацию из Москвы в Ленинград просто: достаточно послать по радио сигнал, и пушка выстрелит вовремя. А тогда нужно было придумать другой способ оповещения о моменте возложения патриархом короны на голову императрицы.

И вот на всём пути (примерно 650 км) от собора в Москве до крепости в Петербурге были выстроены солдаты на расстоянии прямой видимости (около 100 м) друг от друга. Для этого, как легко подсчитать, понадобилось приблизительно 6500 солдат. У каждого солдата в руке был флажок. В момент коронования первый солдат взмахнул флажком, следующий повторил его движение, за ним — все остальные. Время реакции человека составляет десятые доли секунды, и, следовательно, через 10‍—‍20 минут известие о коронации дошло до артиллериста в Петропавловской крепости.

Что же перемещалось от Москвы до Петербурга? Каждый солдат остался стоять на своём месте. Единственное, что он сделал — взмахнул флажком. На научном языке можно сказать, что, подняв и опустив руку с флажком, он на некоторое время изменил своё состояние. Это изменение состояния и перемещалось вдоль цепи солдат.

Перемещение в пространстве изменения состояния называется волной.

В 1905 году в Петербурге начались забастовки, и тогда печать писала, что волна забастовок распространилась по всей России и достигла самых далёких окраин. В этом случае распространялось состояние, в котором рабочие бросали работу на промышленных предприятиях и предъявляли политические и экономические требования.

А вот пример о том, как распространяются слухи. Известно, что слух, пущенный даже одним человеком, может распространиться в городе в течение короткого времени. Оно значительно меньше времени, необходимого для того, чтобы этому человеку обойти (или обзвонить) всех людей в городе. Ясно, что носители слуха сами могут и не перемещаться. Перемещается состояние осведомлённости. Так обычно и говорят — по городу распространяется волна слухов.

Разберём, наконец, физический пример. На биллиардном столе выстроена цепочка шаров (рис. 1, а). На неё налетает ещё один шар так, что его скорость направлена вдоль цепочки. После удара налетающий шар остановится, а последний шар отскочит (рис. 1, б). Мы сообщаем импульс первому шару, а получает его — последний. Это происходит потому, что вдоль цепочки шаров распространяется волна деформации. При ударе первый шар сплющивается и деформирует соседний, тот — следующий и т. д. На любой промежуточный шар слева и справа действуют равные по модулю, но противоположные по направлению силы упругости (рис. 1, в), и он остаётся на месте. Последнему шару действующая только с одной стороны сила упругости сообщает импульс, и он отскакивает.

Рисунок 1 Рисунок 2

Такие волны деформации, распространяющиеся в упругих средах, называют звуковыми волнами. Следовательно, в результате удара по цепочке шаров пробежала звуковая волна. Она может распространяться в любом упругом теле. Например, если по закреплённому стержню (рис. 2, а) ударить с одного конца молотком, по стержню побежит волна деформации (звуковая волна). Когда эта волна дойдёт до противоположного конца стержня, висящий там шарик отскочит (рис. 2, б). Аналогично можно возбудить звуковую волну в жидкости или в газе, только вместо молотка удобнее, конечно, воспользоваться поршнем.

Рисунок 3

Попытаемся подробнее разобраться в механизме распространения звуковых волн в упругих телах. В частности, выясним, от чего зависит скорость распространения волны. Сначала решим упрощённую задачу для модели упругого тела. Будем считать, что у нас имеется цепочка шариков массой $m$‍,‍ соединённых пружинками жёсткостью $k$‍‍ (рис. 3). Размеры шариков малы по сравнению с расстоянием между ними, а масса пружинок пренебрежимо мала по сравнению с массой шариков. По существу это та же цепочка биллиардных шаров, у которой мы «разделили» инертность (массу) и упругость (жёсткость).

Такая модель близка к реальной ситуации в твёрдом теле. В кристаллической решётке атомы располагаются так, что в состоянии равновесия векторная сумма сил, действующих на каждый атом со стороны всех других, равняется нулю. При отклонении атомов от положения равновесия возникают силы притяжения и отталкивания, которые похожи на силы упругости‍.

Давайте сообщим какому-либо шарику, например первому слева, импульс, направленный вдоль цепочки (толкнём его). Тогда, как и в примере с биллиардными шарами, по цепочке побежит волна упругой деформации, которая через какое-то время достигнет правого конца цепочки. Так как последний шарик связан с цепочкой пружинкой, отскочить совсем он не сможет. Растянутая пружинка вынудит его вернуться назад, а затем, вследствие своей инертности, шарик сожмёт пружинку. Теперь волна деформации побежит справа налево. В таком случае говорят, что волна отразилась от конца цепочки и начала распространяться в обратном направлении. По тем же причинам она отразится от противоположного конца и т. д. Эти отражённые волны усложнят наше рассмотрение, и, чтобы избавиться от них, рассмотрим «бесконечную» (т. е. без концов) цепочку. Её можно реализовать, замкнув цепочку из большого числа шариков в кольцо (рис. 4). По такой «бесконечной» цепочке волна упругой деформации будет двигаться по кругу без отражений, пока не затухнет.

Рисунок 4

Отклоним один из шариков от положения равновесия (например, сместим по часовой стрелке) и отпустим. Тогда под действием подсоединённых к нему пружин положение шарика в пространстве будет периодически изменяться. Такое движение называют колебательным.

Колебания играют важную роль в природе и технике. Колебательное движение совершает маятник в часах; в бытовых электроприборах колеблются сила тока и напряжение; смена дня и ночи, времён года — это тоже колебательный процесс, обусловленный движением Земли. Все вращающиеся механизмы вызывают колебания фундамента, которые необходимо обязательно учитывать при конструировании.

Простейший тип колебательного движения — это гармоническое колебание, когда смещение тела от положения равновесия меняется со временем по закону $$ \alpha=\alpha_{\text{м}}\sin\dfrac{2\pi t}T=\alpha_{\text{м}}\sin2\pi\nu t= \alpha_{\text{м}}\sin\omega t, $$ где в случае кольцевой цепочки $\alpha$‍‍ — угловое отклонение шарика от положения равновесия. Как видно, гармоническое колебание характеризуется двумя величинами (параметрами): максимальным отклонением (амплитудой) $\alpha_{\text{м}}$‍,‍ и периодом колебаний $T$‍‍ (промежутком времени, через который колебание полностью повторяется). Частота $\nu$‍‍ равна числу колебаний в единицу времени, циклическая частота $\omega=2\pi\nu$‍‍ вводится для упрощения математической записи колебательного движения, а величинa $\varphi=\nu t$‍,‍ определяющая положение шарика в данный момент времени $t$‍,‍ называется фазой колебаний.

Приведём пример. Пусть шарик совершает полное колебание за время $T=4~\text{с}$‍,‍ в начальный момент он находится в положении равновесия, а его максимальное отклонение $\alpha_{\text{м}}=0{,}1~\text{рад}$‍.‍ Тогда, если он совершает гармонические колебания, то зависимость отклонения от времени даётся формулой $$ \alpha=0{,}1\sin\dfrac{\pi t}2. $$ В момент $t_1=1~\text{с}$‍‍ фаза колебаний равна $\varphi_1=\dfrac\pi2$‍,‍ в момент $t_2=2~\text{с}$‍‍ фаза $\varphi_2=\pi$‍,‍ в момент $t_3=3~\text{с}$‍‍ фаза $\varphi_3=\dfrac{3\pi}2$‍‍ и т. д.

Частота колебаний (а значит, и период, и циклическая частота) зависит от свойств системы. Так, циклическая частота колебаний шарика массой $m$‍,‍ присоединённого к пружинке жёсткостью $k$‍,‍ равна (см. «Приложение» к статье) $$ \omega_0=\sqrt{\dfrac{k_0}m}.\tag{*} $$

Состояние колебательного движения может распространяться в пространстве. Например, в нашей цепочке все шарики будут повторять колебания первого, но только с некоторым опозданием. В состоянии максимального отклонения от положения равновесия каждый следующий шарик будет находиться позже, предыдущий. Точно так же, когда первый шарик снова вернётся в положение равновесия, соседний ещё будет отклонён и вернётся в положение равновесия с запозданием.

Запаздывание колебаний во времени математически описывается с помощью сдвига по фазе. Угловое смещение шарика с номером $n$‍‍ даётся формулой $$ \alpha_n=\alpha_{\text{м}}\sin(\omega(t-\Delta t_n))= \alpha_{\text{м}}\sin(\omega t-\Delta\varphi_n). $$ Величина $\Delta\varphi_n=\omega\,\Delta t_n$‍‍ называется сдвигом фазы ($\Delta t_n$‍‍ — время запаздывания колебаний $n$‍‍-го шарика). В таком случае каждый шарик в цепочке совершает гармоническое колебание. У всех шариков амплитуда колебаний $\alpha_{\text{м}}$‍,‍ и циклическая частота $\omega$‍‍ — одинаковые, но сдвиги фазы $\Delta\varphi_n$‍‍ — разные. Чем больше расстояние до $n$‍‍-го шарика, тем больше запаздывание и, следовательно, тем больше сдвиг фазы.

Рисунок 5

На рисунке 5 показаны графики колебательных движений, сдвинутых по фазе на $\Delta\varphi_1=\dfrac\pi8$‍,‍ $\Delta\varphi_2=\pi$‍‍ и $\Delta\varphi_3=\dfrac{15\pi}8$‍‍ по отношению к колебанию, изображённому пунктиром. В первом случае фазовый сдвиг мал, и шарики колеблются почти что в такт. Во втором случае наступает полный разнобой: при максимальном отклонении одного шарика другой шарик также максимально отклонён, но в противоположную сторону. В таком случае говорят, что шарики колеблются в противофазе. Наконец, в третьем случае сдвиг фаз близок к $2\pi$‍.‍ Как видно, шарики опять начинают колебаться почти что в такт. Это и понятно, ведь $2\pi$‍‍ — период синуса, и колебания, сдвинутые по фазе на величину, кратную $2\pi$‍,‍ просто совпадают.

Так как сдвиг фазы колебаний шариков в цепочке при увеличении расстояния между ними растёт, то ясно, что на некотором расстоянии он станет равным $2\pi$‍‍ и шарики будут колебаться в такт (в унисон). Это расстояние называется длиной волны $\lambda$‍.‍

Сколько длин волн может укладываться на длине цепочки? Так как начало и конец цепочки соединены (кольцо!), то ясно, что — только целое число длин волн. Ведь первый и последний шарики совпадают и, следовательно, должны колебаться одинаково. Если длина цепочки $L$‍‍ ($L=Na$‍,‍ где $a$‍‍ — расстояние между шариками в положении равновесия, а $N$‍‍ — их число), то самая длинная волна, которая может распространяться в цепочке, имеет длину $\lambda_1=L$‍.‍ Следующая, более короткая, — $\lambda_2=\dfrac L2$‍,‍ следующая — $\lambda_3=\dfrac L3$‍‍ и т. д. Какая же самая короткая волна может распространяться в цепочке?

Рисунок 6

Чем меньше длина волны, тем больший сдвиг фаз приходится на соседние шарики. Максимальный «разнобой» происходит при сдвиге фаз между соседними шариками, равном $\pi$‍.‍ В таком случае шарики колеблются в противофазе (рис. 6), и соответствующая длина волны $\lambda_{\min}=2a$‍.‍

Давайте рассчитаем, с какой частотой происходят колебания, соответствующие минимальной длине волны (это позволит оценить скорость распространения волны в цепочке). Если положить, что средний шарик колеблется по закону $$ \alpha_n=\alpha_{\text{м}}\sin\omega t, $$ то колебания предыдущего шарика описываются формулой $$ \alpha_{n-1}=\alpha_{\text{м}}\sin(\omega t+\pi), $$ а последующего — $$ \alpha_{n+1}=\alpha_{\text{м}}\sin(\omega t-\pi). $$ Зная, как движутся концы пружин, легко найти, как зависит от времени их деформация, и по закону Гука $F=kx$‍‍ рассчитать силы упругости, действующие на средний шарик. Результирующая сила $$ F=kx_{\text{м}}(\sin(\omega t-\pi)-\sin\omega t+ \sin(\omega t+\pi)-\sin\omega t)=-4kx_{\text{м}}\sin\omega t, $$ где $x_{\text{м}}=R\alpha_{\text{м}}$‍‍ — максимальное линейное отклонение шарика ($R$‍‍ — радиус кольца, в которое замкнута цепочка). Как видно, средний шарик колеблется так, как если бы он был присоединён к одной пружинке, но с учетверённой жёсткостью. Подставляя в формулу (*) значение $k_0=4k$‍,‍ получаем, что при распространении по цепочке волны с минимальной длиной $\lambda_{\min}=2a$‍‍ частота колебаний $\omega=2\sqrt{\dfrac km}$‍.‍ Это — максимальная частота колебаний шариков в замкнутой цепочке.

В реальном твёрдом теле также имеется максимальная частота, с которой могут колебаться атомы.

Какова при этом скорость распространения волны? Если частота колебаний $\omega$‍,‍ то их период $T=\dfrac{2\pi}\omega$‍.‍ При скорости распространения $v$‍‍ волна за время $T$‍‍ проходит путь $l=vT=\dfrac{2\pi v}\omega$‍.‍ Этот путь и равен длине волны, так как сдвинутые во времени на период $T$‍‍ колебания будут происходить в фазе. Таким образом, $$ \lambda=vT=\dfrac{2\pi v}\omega, $$ и, следовательно, $$ v=\dfrac{\lambda\omega}{2\pi}=\dfrac2\pi a\sqrt{\dfrac km}. $$

А каковы скорость распространения и частота колебаний для волн с большей длиной? Их можно подсчитать, например, таким же способом (хотя это и несколько более сложная задача). При этом оказывается, что с увеличением длины волны частота колебаний уменьшается, а скорость распространения волны увеличивается, но незначительно. Для больших длин волн ($\lambda\gg a$‍)‍ скорость распространения становится постоянной и равной $$ v_0=a\sqrt{\dfrac km}. $$ Так что выведенное нами выражение с хорошей точностью даёт величину скорости распространения волн в цепочке связанных шариков и для других длин волн.

Вернёмся к твёрдому телу. Чем определяется скорость распространения в нём звуковых волн? Проведя аналогию с цепочкой шаров, можно понять, что скорость зависит от упругих свойств материала, массы атомов, из которых состоит вещество, и расстояния между ними. Чем меньше расстояние между атомами и чем больше их масса, тем больше плотность вещества $\rho$‍.‍ Жёсткость $k$‍‍ в нашей модели можно считать пропорциональной модулю Юнга $E$‍.‍ Точная формула для скорости звука в твёрдом теле такова: $$ v=\sqrt{\dfrac E\rho}. $$ Например, для стали с помощью этой формулы получаем $v\approx 5000~\text{м/с}$‍.‍ Так нам удалось разобраться в явлении распространения звука в упругих телах, т. е. в распространении колебаний смещений атомов, из которых состоят эти тела.

В пространстве могут распространяться колебания и других физических величин. Если периодически изменяются значения напряжённости электрического и индукции магнитного полей, то говорят, что распространяется электромагнитная волна. Могут распространяться колебания температуры — температурные волны, колебания индукции магнитного поля в веществе — волны намагничивания и т. д. Образно говоря, всё здание современной физики пронизывают разные типы волн.

Приложение

Представим себе, что пружина надета на стержень $AB$‍,‍ расположенный по диаметру кольца (рис. 7). Один конец пружины связан с шариком, а второй закреплён у края стержня $A$‍.‍ Шарик может свободно перемещаться вдоль стержня, причём в состоянии равновесия он находится в центре кольца $O$‍.‍ Приведём кольцо во вращение в горизонтальной плоскости с угловой скоростью $\omega_0$‍.‍ Тогда шарик отклонится от центра. Если его смещение равно $r$‍,‍ то со стороны пружины на шарик будет действовать сила, равная по закону Гука $F=k_0r$‍‍ и направленная к центру кольца. Согласно второму закону Ньютона, эта сила должна создавать центростремительное ускорение $a_{\text{ц}}=\omega_0^2r$‍:‍ $$ m\omega_0^2r=k_0r. $$ Следовательно, для того чтобы шарик находился в устойчивом состоянии при вращении кольца, необходимо, чтобы скорость вращения была равна $\omega_0=\sqrt{\dfrac{k_0}m}$‍.‍

Рисунок 7 Рисунок 8

При этом проекция шарика на неподвижную ось совершает гармоническое колебание с циклической частотой, равной угловой скорости вращения. Например, $x=r\sin\omega_0t$‍.‍ Таким образом, частота гармонических колебаний шарика массой $m$‍‍ на пружинке жёсткости $k$‍,‍ определяется формулой $$ \omega_0=\sqrt{\dfrac{k_0}m}. $$

Упражнения

1. «Почувствовать», что такое волна, можно, сделав следующее упражнение. Встаньте в круг, возьмитесь за руки и пусть один из вас присядет и выпрямится, следующий за ним сделает это с некоторым запозданием, следующий — с бо́льшим запозданием и т. д. Тогда по кругу побежит волна. От чего зависит скорость распространения такой волны?
2. Длина воздушной линии передачи $l=3000~\text{км}$‍.‍ Частота напряжения $\nu=50~\text{Гц}$‍.‍ На какую долю периода сдвинуты колебания напряжения в начале и конце этой линии? Найдите также сдвиг фазы.
3. Оцените время соударения $\tau$‍‍ стальных шариков, имеющих диаметр $d=0{,}01~\text{м}$‍.‍ Плотность стали $\rho=7{,}8\cdot10^3~\text{кг/м}^3$‍,‍ модуль Юнга $E=2\cdot10^{11}~\text{Н/м}^2$‍.‍
4. Для создания сильных магнитных полей П. Л. Капица использовал следующую установку. Ротор генератора, вращающийся в магнитном поле статора, резко останавливается. При этом в роторе наводилась большая ЭДС индукции. Ротор был замкнут на катушку с малым сопротивлением, так что в цепи возникал сильный импульс тока, создающий в катушке рекордное по тем временам, магнитное поле (с индукцией около 30 Тл). Почему катушку, в которой находился исследуемый образец, приходилось помещать далеко от генератора? Оцените требуемое минимальное расстояние $l$‍‍ между генератором и катушкой, если опыт длился $\Delta t=0{,}01~\text{с}$‍,‍ а пол в лаборатории — бетонный.
5. Модель молекулы углекислого газа $\text{CO}_2$‍‍ — три шарика, соединённых пружинками и расположенных в положении равновесия вдоль одной прямой. Такая молекула может совершать колебания разных типов, показанные на рисунке 8. Найти отношение частот этих колебаний.