Изображения страниц
Текст статьи Задачи наших читателей // Квант. — 1982. — № 4. — С. 59.
Докажите, что уравнение $$ \sin^3x+\cos x=a $$ при
$|a|\ge\dfrac54$ не имеет решений.Докажите тождество $$ \cos\dfrac{8\pi}{35}+\cos\dfrac{12\pi}{35}+\cos\dfrac{18\pi}{35}= \dfrac12\cos\dfrac\pi5+\dfrac{\sqrt7}2\sin\dfrac\pi5. $$
Решите уравнение
$x^{x^5}=5$ .Существует ли геометрическая прогрессия из девяти различных натуральных чисел, заключённых между 250 и 7000?
Ответы, указания, решения
Если
$a\ge\dfrac54$, то$a=\sin^3x+\cos x\lt\sin^2x+\cos x$, откуда$\cos^2x-\cos x+a-1\lt0$, что невозможно, поскольку дискриминант трёхчлена$t^2-t+(a-1)$ неположителен.Случай
$a\le-\dfrac54$ аналогичен предыдущему (нужно только заметить, что$-a=-\sin^3x-\cos x\lt\sin^2x-\cos x$). $\cos\dfrac{8\pi}{35}+\cos\dfrac{12\pi}{35}+\cos\dfrac{18\pi}{35}= \cos{\left(\dfrac45-\dfrac47\right)}\pi+ \cos{\left(\dfrac65-\dfrac67\right)}\pi+ \cos{\left(\dfrac95-\dfrac97\right)}\pi=$ $$ \begin{gather*} =\cos\dfrac\pi5\, {\left(\cos\dfrac\pi7+\cos\dfrac{3\pi}7+\cos\dfrac{5\pi}7\right)}+ \sin\dfrac\pi5\, {\left(\sin\dfrac{3\pi}7-\sin\dfrac\pi7+\cos\dfrac{5\pi}7\right)};\\[12pt] \cos\dfrac\pi7+\cos\dfrac{3\pi}7+\cos\dfrac{5\pi}7=\dfrac12 \end{gather*} $$$\Big($ докажите это, домножив и разделив левую часть на$2\sin\dfrac\pi7\Big)$. $$ \begin{gather*} \sin\dfrac{3\pi}7-\sin\dfrac\pi7+\cos\dfrac{5\pi}7= 2\cos\dfrac{2\pi}7\sin\dfrac\pi7+\sin\dfrac{2\pi}7=\\ =2\sin\dfrac\pi7\,{\left(\cos\dfrac{2\pi}7+\cos\dfrac\pi7\right)}= 4\sin\dfrac\pi7\cos\dfrac{3\pi}{14}\cos\dfrac\pi{14}=\\ =4\sin\dfrac\pi7\sin\dfrac{2\pi}7\sin\dfrac{3\pi}7. \end{gather*} $$ Но$4\sin\dfrac\pi7\sin\dfrac{2\pi}7\sin\dfrac{3\pi}7=\dfrac{\sqrt7}2$. Докажите это, рассмотрев равенство $$ 8\sin^2\dfrac\pi7\sin^2\dfrac{2\pi}7\sin^2\dfrac{3\pi}7= \left(1-\cos\dfrac{2\pi}7\right)\left(1-\cos\dfrac{4\pi}7\right) \left(1-\cos\dfrac{6\pi}7\right) $$ и сосчитав выражения $$ \begin{gather*} \cos\dfrac{2\pi}7+\cos\dfrac{4\pi}7+\cos\dfrac{6\pi}7,\\ \cos\dfrac{2\pi}7\cos\dfrac{4\pi}7+\cos\dfrac{2\pi}7\cos\dfrac{6\pi}7+ \cos\dfrac{4\pi}7\cos\dfrac{6\pi}7,\\ \cos\dfrac{2\pi}7\cos\dfrac{4\pi}7\cos\dfrac{6\pi}7 \end{gather*} $$ (см. также решение задачи М725 в одном из следующих номеров «Кванта»).$x=\sqrt[\scriptstyle5~]5$. Пусть
$q=\dfrac mn$ — знаменатель прогрессии($m$ и$n$ — взаимно простые натуральные числа). Тогда первый член прогрессии имеет вид$a_1=kn^8$; следовательно, последний член равен$km^8$. Из неравенств$250\lt kn^8\lt7000$, $250\lt km^8\lt7000$ получаем$k=1$, $\dfrac mn=\dfrac23$ или$\dfrac mn=\dfrac32$. Получаем два решения:$a_1=2^8$, $q=\dfrac32$; $a_1=3^8$, $q=\dfrac23$.