«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Точка внутри правильного $2n$-угольника соединена с вершинами. Возникшие $2n$ треугольников раскрашены попеременно в голубой и красный цвет. Докажите, что сумма площадей голубых треугольников равна сумме площадей красных
Докажите неравенство $$ a^2+b^2+c^2+2abc \lt 2, $$ где $a$, $b$, $c$ — длины сторон треугольника периметра 2.
Пусть $A$, $B$, $C$ — вершины параллелепипеда, соседние с его вершиной $P$, а $Q$ — вершина, противоположная $P$. Докажите, что
Найдите натуральное число, обладающее таким свойством: если записать рядом его квадрат и его куб, а затем переставить написанные цифры в обратном порядке, получится шестая степень этого числа.
Для любого ли числа $x \ge1 $ верно равенство $$ \left[\sqrt{\left[\sqrt{x}\right]}\right]=\left[ \sqrt{\sqrt{x}}\right]? $$ (Здесь через $[y]$ обозначена целая часть числа $y$.)
Даны натуральные числа $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ такие, что $a_k \le k$ $(k=1,2, \ldots,n)$ и сумма $a_1+a_2+\ldots+a_n$ чётна. Докажите, что одно из выражений $$ a_1\pm a_2\pm a_3\pm \ldots \pm a_n $$ равно нулю.
Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму равнобедренных трапеций с основаниями З см, 1 см и высотой 1 см, нельзя составить прямоугольник.
