Изображения страниц
Текст статьи Геометрические задачи наших читателей // Квант. — 1981. — № 9. — С. 41.
- Пусть
$a$, $b$, $c$ — длины, соответственно, сторон$BC$, $CA$ и$AB$ произвольного треугольника$ABC$. Пусть$O_1$ — точка пересечения его биссектрисс,$O_2$ — точка пересечения медиан. Обозначим через$K$, $L$ и$M$ точки neресечения прямой$O_1O_2$ с прямыми$BC$, $CA$ и$AB$. Пусть, наконец,$\lambda$, $\mu$ и$\nu$ — числа, для которых$\overrightarrow{BK}=\lambda\cdot\overrightarrow{KC}$, $\overrightarrow{CL}=\mu\cdot\overrightarrow{LA}$, $\overrightarrow{AM}=\nu\cdot\overrightarrow{MB}$. Докажите, что$\lambda=\dfrac{a-c}{a-b}$, $\mu=\dfrac{b-a}{b-c}$, $\nu=\dfrac{c-b}{c-a}$. Пусть в треугольнике
$ABC$ длины$a$, $b$, $c$ сторон$BC$, $CA$, $AB$ удовлетворяют соотношению$a\gt c\gt b$. Пусть$h_a=|AA_0|$, $h_b=|BB_0|$, $h_c=|CC_0|$ — длины высот$AA_0$, $BB_0$, $CC_0$ треугольника, а$H_a$, $H_b$, $H_c$ — проекции их оснований$A_0$, $B_0$, $C_0$ на биссектриссы углов$A$, $B$ и$C$ соответственно. Докажите, что для площадей треугольников с вершинами в этих точках справедливы следующие равенства:$a^3\cdot S_{AH_aA_0}+b^3\cdot S_{BH_bB_0}=c^3\cdot S_{CH_cC_0}$; $\dfrac{S_{AH_aA_0}}{h_a^3}+\dfrac{S_{BH_bB_0}}{h_b^3}=\dfrac{S_{CH_cC_0}} {h_c^3}$.
Известно, что в четырёхугольник
$ABCD$ можно вписать окружность. Пусть$E$ — точка пересечения его диагоналей$AC$ и$BD$. Докажите, что $$ \dfrac{|AE|}{|EC|}=\dfrac{\ctg\dfrac{\widehat{A}}2}{\ctg\dfrac{\widehat{C}}2}. $$- Пусть
$ABC$ — треугольник,$M$ — точка внутри него, являющаяся общей вершиной трёх конгруэнтных равносторонних треугольников, две другие вершины каждого из которых лежат на смежных сторонах треугольника$ABC$ (см. рис.). Докажите, что длина стороны этих равносторонних треугольников равна$\dfrac{2abc}{a^2+b^2+c^2+4S\sqrt3}$, где$S$ — площадь треугольника$ABC$, $a$, $b$, $c$ — длины его сторон. - Обозначим через
$M_1$, $M_2$ и$M_3$ проекции точки$M$ на стороны данного треугольника (см. рис.). Докажите, что треугольник$M_1M_2M_3$ — равносторонний.
- Пусть
Через центр
$O$ окружности, вписанной в треугольник$ABC$, проведён отрезок$MN$ с концами на сторонах треугольника,$M\in[AB]$, $N\in[AC]$. На прямых$BO$ и$CO$ взяты, соответственно, точки$D$ и$E$ такие, что отрезки$DN$ и$ME$ параллельны стороне$BC$. Докажите, что точки$A$, $D$ и$E$ лежат на одной прямой.(Обобщение этой задачи — замечательная теорема из проективной геометрии: Если прямые
$BC$, $ME$ и$DN$ проходят через одну точку и прямые$BD$, $CE$ и$MN$ проходят через одну точку, то и прямые$BM$, $NC$ и$DE$ также проходят через одну точку.)В треугольнике
$ABC$ проведены биссектрисы внутренних углов$A$, $B$, $C$ до пересечения с описанной вокруг него окружностью в точках$A_1$, $B_1$ и$C_1$ соответственно. Обозначим через$O$ точку пересечения этих биссектрис. Докажите, что середины отрезков$AO$, $BO$, $CO$, $A_1O$, $B_1O$, $C_1O$, $A_1B_1$, $B_1C_1$ и$A_1C_1$ лежат на одной окружности.
