Геометрические задачи наших читателейГеометрические задачи наших читателей // Квант. — 1981. — № 8. — С. 11.‍‍

1. Докажите, что для любой точки $N$‍‍ окружности, описанной около правильного треугольника $ABC$‍,‍ разность между квадратом длины наибольшего из отрезков $AN$‍,‍ $BN$‍,‍ $CN$‍‍ и произведением длин двух других из этих отрезков равна квадрату длины стороны треугольника.
2. Пусть длина стороны треугольника равна $a$‍,‍ а длина наибольшего из упомянутых отрезков равна $t$‍.‍ Чему равны длины двух других отрезков?

А. Дупло

Треугольник $ABC$‍‍ разбит медианами $AA_1$‍,‍ $BB_1$‍,‍ $CC_1$‍‍ на шесть треугольников, в каждый из которых вписана окружность. Пусть $r_1$‍,‍ $r_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $r_6$‍‍ — радиусы этих окружностей (рис. 1). Докажите, что $$ \dfrac1{r_1}+\dfrac1{r_3}+\dfrac1{r_5}=\dfrac1{r_2}+\dfrac1{r_4}+\dfrac1{r_6}. $$

Р. Мазов

В треугольнике $ABC$‍‍ величина угла $C$‍‍ равна $120^\circ$‍.‍ Пусть $M$‍‍ — точка на стороне $AB$‍.‍ Докажите, что отрезок $CM$‍‍ является биссектрисой угла $C$‍‍ в том и только в том случае, когда $$ \dfrac1{|CM|}=\dfrac1{|AC|}+\dfrac1{|BC|}. $$

С. Сефибеков

Диагонали трапеции $ABCD$‍‍ пересекаются в точке $O$‍.‍ Через середину $M$‍‍ боковой стороны $CD$‍‍ проведена прямая $MO$‍,‍ пересекающая сторону $AB$‍‍ в точке $N$‍.‍ Пусть $K$‍‍ — точка пересечения прямой $AM$‍‍ с диагональю $BD$‍.‍ Известно, что $(BM)\parallel(MK)$‍.‍ Найдите отношение $\dfrac{|AD|}{|BC|}$‍‍ ($AD$‍‍ и $BC$‍‍ — основания трапеции).

Э. Абдулаев

Внутри четырёхугольника $ABCD$‍‍ взяты точки $P$‍‍ и $R$‍‍ так, что $(AP)\parallel(CR)$‍,‍ $(DP)\parallel(BR)$‍‍ и $\widehat{APD}=120^\circ$‍‍ (рис. 2). Докажите, что если $$ |RC|-|AP|=|DP|-|RB|=|DC|-|AB|, $$ то четырёхугольник $ABCD$‍‍ — трапеция.

Ф. Кабдыкаиров