Изображения страниц
Текст статьи Геометрические задачи наших читателей // Квант. — 1981. — № 8. — С. 11.
- Докажите, что для любой точки
$N$ окружности, описанной около правильного треугольника$ABC$, разность между квадратом длины наибольшего из отрезков$AN$, $BN$, $CN$ и произведением длин двух других из этих отрезков равна квадрату длины стороны треугольника. - Пусть длина стороны треугольника равна
$a$, а длина наибольшего из упомянутых отрезков равна$t$. Чему равны длины двух других отрезков?
- Докажите, что для любой точки
Треугольник
$ABC$ разбит медианами$AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ на шесть треугольников, в каждый из которых вписана окружность. Пусть$r_1$, $r_2$, $\ldots$, $r_6$ — радиусы этих окружностей (рис. 1). Докажите, что $$ \dfrac1{r_1}+\dfrac1{r_3}+\dfrac1{r_5}=\dfrac1{r_2}+\dfrac1{r_4}+\dfrac1{r_6}. $$В треугольнике
$ABC$ величина угла$C$ равна$120^\circ$. Пусть$M$ — точка на стороне$AB$. Докажите, что отрезок$CM$ является биссектрисой угла$C$ в том и только в том случае, когда $$ \dfrac1{|CM|}=\dfrac1{|AC|}+\dfrac1{|BC|}. $$Диагонали трапеции
$ABCD$ пересекаются в точке$O$. Через середину$M$ боковой стороны$CD$ проведена прямая$MO$, пересекающая сторону$AB$ в точке$N$. Пусть$K$ — точка пересечения прямой$AM$ с диагональю$BD$. Известно, что$(BM)\parallel(MK)$. Найдите отношение$\dfrac{|AD|}{|BC|}$ ($AD$ и$BC$ — основания трапеции).Внутри четырёхугольника
$ABCD$ взяты точки$P$ и$R$ так, что$(AP)\parallel(CR)$, $(DP)\parallel(BR)$ и$\widehat{APD}=120^\circ$ (рис. 2). Докажите, что если $$ |RC|-|AP|=|DP|-|RB|=|DC|-|AB|, $$ то четырёхугольник$ABCD$ — трапеция.
