Текст статьи Кордемский Б. А. Семнадцать задач на смекалку // Квант. — 1981. — № 7. — С. 44—45.
Среди задач, предлагаемых пособиями для поступающих в вузы, встречаются и такие, при решении которых можно проявить находчивость и остроумие.
Разумеется, как правило, эти задачи можно решать и стандартными методами, однако решения, использующие нестандартные, остроумные соображения, часто оказываются более короткими и красивыми, чем традиционные.
Несколько таких задач мы предлагаем нашим читателям.
Задача 1. Пройдя
Задача 2. Из пункта
Задача 3. В колбе имеется раствор соли. Из колбы отливают
Задача 4. 27 одинаковых механизмов могут выполнить определённое задание за 35 часов непрерывной работы. Но через 11 часов к выполнению этого задания подключили ещё несколько таких же механизмов, и работа была закончена на 6 часов раньше. Сколько механизмов было подключено дополнительно?
Задача 5. От двух кусков сплава одинаковой массы, но с различным процентным содержанием меди отрезали по куску равной массы. Каждый из отрезанных кусков сплавили с остатком другого куска, после чего процентное содержание меди в обоих кусках стало одинаковым. Во сколько раз отрезанный кусок меньше целого куска?
Задача 6. Имеются два сплава серебра и золота: в одном
количества этих металлов находятся в отношении
Задача 7. На стороне
Задача 8. Дан
- Докажите, что существует треугольник
$A_1B_1C_1$ , - Докажите, что треугольник
$A_2B_2C_2$ ,$A_1B_1C_1$ ,$ABC$ . - Найдите площадь треугольника
$A_2B_2C_2$ ,$ABC$ $S$ .
Задача 9. Пусть точка
Задача 10. В прямоугольном треугольнике
Задача 11. Докажите неравенство $$ \underbrace{\sqrt[3]{6+\sqrt[3]{6+\ldots\sqrt[3]{6+\sqrt[3]6}}}}_n+ \underbrace{\sqrt{6+\sqrt{6+\ldots\sqrt{6+\sqrt6}}}}_m\lt5. $$
Задача 12. Докажите, что для всякого треугольника
$\cos\widehat A+\cos\widehat B+\cos\widehat C\le\dfrac32$ ;$\cos2\widehat A+\cos2\widehat B+\cos2\widehat C\ge-\dfrac32$ .
Задача 13. Найдите предел
Задача 14. Упростите выражение
$$
\dfrac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}+\dfrac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)}+
\dfrac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)},
$$
где
Задача 15. Упростите выражения
$\sin^3\alpha\cos3\alpha+\cos^3\alpha\sin3\alpha$ ;$\sin^2x+\sin^2\alpha+\sin^2(x+\alpha)+2\cos\alpha\cos x\cos(\alpha+x)$ ;
Задача 16. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями
Задача 17. Решите уравнение $$ x^3+1=2\sqrt[3]{2x-1}. $$
Ответы, указания, решения
- Из условия следует, что
$\dfrac58-\dfrac38=\dfrac14$ $\dfrac14\cdot60=15~\text{км/ч}$ . - Если предположить, что мяч покоится в пункте
$A$ ,$A$ $\dfrac{1000}{20}=50~\dfrac{\text{м}}{\text{мин}}$ . - Пусть первоначально в колбе было
$x$ $\frac x{100}=\dfrac XV$ ,$X$ $V$ $V-\dfrac Vn+\dfrac V{2n}$ ,$X$ $x=p(2n-1)$ . - Пусть прямоугольник
$OABC$ $OAED$ $x$ $CBED$ ,$27+x$ $DHGF$ ( равновеликим прямоугольнику$|DH|=27+x$ ),$DEBC$ ,$|DF|=(35-11)-6=18$ , - Если
$x$ $m$ ,$p$ $q$ $x=\dfrac m2$ . - Каждый кусок сплава серебра и золота характеризуется двумя числами:
массой серебра
$x$ $y$ ,$(x;y)$ .$m_1$ $m_2$ $\left(8\cdot\dfrac{5}{11+5};8\right)=\left(\dfrac52;8\right)$ ,$\left(m_1\cdot\dfrac25;m_1\right)$ ,$\left(m_2\cdot\dfrac3{10};m_2\right)$ ,$m_1=1$ ,$m_2=7$ . - Поворотом
$\mathrm{R}_A^{90^\circ}$ $\triangle ABE$ $\triangle ADE_1$ $\widehat{AFD}=\widehat{FAB}=\widehat{FAE_1}$ $|AE_1|=|EE_1|$ .$|AE|=|AE_1|$ $|BE|=|DE_1|$ . - Пусть
$AM$ ,$BN$ $CP$ $\triangle ABC$ $O$ $AM$ $M$ $O'$ $|MO'|=|MO|$ .$BOO'$ $\dfrac23$ $\triangle ABC$ .$BOO'$ $\triangle ABC$ .$\triangle BOO'$ $\dfrac32$ ,$\triangle ABC$ $\triangle A_1B_1C_1$ ),$\dfrac34$ $\triangle ABC$ . - Значит, в треугольнике, полученном из
$\triangle ABC$ $\dfrac34$ ,$\triangle A_1B_1C_1$ ,$\triangle A_2B_2C_2$ . - По построению
$S_{\triangle A_2B_2C_2}=\dfrac9{16}S_{\triangle ABC}= \dfrac9{16}S$ .
Рис. 3 Треугольник
$A_1B_1C_1$ $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\dfrac12\overrightarrow{BC}$ ,$\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BC}+\dfrac12\overrightarrow{CA}$ ,$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CA}+\dfrac12\overrightarrow{AB}$ ;$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+ \overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}$ ;$A_1$ $\overrightarrow{A_1B_1}=\overrightarrow{AM}$ $B_1$ $\overrightarrow{B_1C_1}=\overrightarrow{BN}$ ,$\overrightarrow{C_1A_1}=\overrightarrow{CP}$ ,$\overrightarrow{AM}$ ,$\overrightarrow{BN}$ ,$\overrightarrow{CP}$ ,$A_1$ ,$B_1$ ,$C_1$ $A_1B_1C_1$ - Пусть
- Ясно, что
$S_{AMC}=\dfrac12$ $S_{KLMC}$ $AKL$ $\dfrac12$ .$[MP]\parallel(AC)$ ;$\triangle AKL$ $\triangle PMK$ ( — средняя линия в$PM$ $\triangle BLC$ )$|AL|=\dfrac13|AC|$ .$S_{AKL}=S_{ALB}-S_{AKB}=\dfrac13-\dfrac14=\dfrac1{12}$ ,$S_{KLMC}=\dfrac12-\dfrac1{12}=\dfrac5{12}$ . - Пусть
$P$ $\triangle ABC$ .$\triangle ACD\sim\triangle CBD\sim\triangle ABC$ ,$\dfrac b{P_1}=\dfrac a{P_2}=\dfrac cP$ .$\dfrac{P_1}P=\dfrac bc$ ,$\dfrac{P_2}P=\dfrac ac$ . - Заметим, что
$\sqrt[3]6\lt2$ ,$\sqrt6\lt3$ . - Рассмотрим единичные векторы
$\overrightarrow{e_1}$ ,$\overrightarrow{e_2}$ ,$\overrightarrow{e_3}$ ,$\overrightarrow{AB}$ ,$\overrightarrow{BC}$ $\overrightarrow{CA}$ $(\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}+\overrightarrow{e_3})^2\ge0$ , - Указание. Воспользуйтесь неравенством
$(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})^2\gt0$ ,$O$
- Рассмотрим единичные векторы
- При
$n\gt3$ $\left(\dfrac23\right)^{n-2}\to0$ , - Очевидно, функция, приведённая в условии, — многочлен степени не более
2. Поскольку
$f(a)=f(b)=f(c)=1$ ,$f(x)=1$ $x$ . - Имеем:
$$
\begin{gather*}
F'(\alpha)=3\sin^2\alpha\cos3\alpha\cos\alpha-3\sin^3\alpha\sin3\alpha+
3\cos3\alpha\cos^3\alpha-3\cos^2\alpha\sin3\alpha\sin\alpha=\\
=3\sin^2\alpha\,(\cos3\alpha\cos\alpha-\sin3\alpha\sin\alpha)+3\cos^2\alpha\,
(\cos3\alpha\cos\alpha-\sin3\alpha\sin\alpha)=3\cos4\alpha.
\end{gather*}
$$
Поэтому
$F(\alpha)=\dfrac34\sin4\alpha+C$ .$C$ $F(0)=0$ .$C=0$ $F(\alpha)=\dfrac34\sin4\alpha$ . - Решая аналогично предыдущей задаче, получаем
$f(x)=2$ .
- Имеем:
$$
\begin{gather*}
F'(\alpha)=3\sin^2\alpha\cos3\alpha\cos\alpha-3\sin^3\alpha\sin3\alpha+
3\cos3\alpha\cos^3\alpha-3\cos^2\alpha\sin3\alpha\sin\alpha=\\
=3\sin^2\alpha\,(\cos3\alpha\cos\alpha-\sin3\alpha\sin\alpha)+3\cos^2\alpha\,
(\cos3\alpha\cos\alpha-\sin3\alpha\sin\alpha)=3\cos4\alpha.
\end{gather*}
$$
Поэтому
- Чтобы найти искомую площадь, надо либо проделать симметрию около прямой
$y=x$ $x=e^y$ ).$2\ln2$ $\int\limits_0^{\ln2}e^x\,dx$ $\int\limits_0^{\ln2}e^y\,dy$ $2\ln2-1$ . - Запишем уравнение, равносильное исходному:
$$
x=\sqrt[3]{2\sqrt[3]{2x-1}-1}.
$$
Пусть
$f(x)=\sqrt[3]{2x-1}$ .$x=f(f(x))$ .$x=f(x)$ .$x_0$ $x=f(f(x))$ ,$f(x_0)\ne x_0$ ,$f(x_0)\gt x_0$ ,$f(x_0)\lt x_0$ .$f$ $x_0=f(f(x_0))\gt f(x_0)$ ,$f(x_0)\gt f(f(x_0))=x_0$ $x^3=2x-1$ $x^3-2x+1=(x-1)(x^2+x-1)=0$ ,$\left\{1,\dfrac{-1\pm\sqrt5}2\right\}$ .
