Изображения страниц
Текст статьи Александров Н., Смирнов П. В чём дело? // Квант. — 1981. — № 6. — С. 10.
Согласно «основному свойству первообразной» («Алгебра и начала анализа
9—10», п. 57), если производные двух функций совпадают, то эти функции
должны отличаться на константу. Производные функций:
$$
\begin{alignat*}{2}
\text{а)}\qquad&y_1=\dfrac1{1-x^2}\quad&&\text{и}\quad
y_2=\dfrac{x^2}{1-x^2},\\[9pt]
\text{б)}\qquad&y_1=\ln|x|\quad&&\text{и}\quad
y_2=\begin{cases}\ln x+3,&\text{если}~x\gt0,\\
\ln(-x)+5,&\text{если}~x\lt0\end{cases}
\end{alignat*}
$$
(см. рисунок), совпадают. С другой стороны, в случае а) функция
Ответы, указания, решения
$y_1-y_2=1$ при всех$x\ne\pm1$. - В формулировку «основного свойства первообразной» входит
промежуток, нa котором та или иная функция является первообразной
для данной функции. Функции
$y_1$ и$y_2$ являются первообразными для функции$y=\dfrac1x$ на промежутке$(0;+\infty)$ — на этом промежутке они отличаются на константу (3). Эти же функции являются первообразными для функции$y=\dfrac1x$; на промежутке$(-\infty;0)$ — на этом промежутке они тоже отличаются на константу (5). На любом промежутке, включающем 0, эти функции не являются первообразными ни для какой функции, так как при$x=0$ они не определены — поэтому на любом таком промежутке «основное свойство первообразной» к ним не применимо.