Изображения страниц
Текст статьи Задачи наших читателей // Квант. — 1981. — № 3. — С. 15.
- Возьмём число 16. Между единицей и шестёркой вставим число 15 — получим
число 1156. В середину этого числа снова вставим 15 — получим 111556 и т. д.
Докажите, что все такие числа (вида
$11\ldots1155\ldots56$) являются квадратами целых чисел. - То же про числа 4489, 444889,
$\ldots$, получающиеся из 49 вставкой в середину числа 48.
- Возьмём число 16. Между единицей и шестёркой вставим число 15 — получим
число 1156. В середину этого числа снова вставим 15 — получим 111556 и т. д.
Докажите, что все такие числа (вида
- Между цифрами числа 961 вставили по
$n$ нулей. Докажите, что при любом$n$ получится квадрат целого числа. - Найдите другие трёхзначные числа, обладающие тем же свойством.
- Между цифрами числа 961 вставили по
- Докажите, что дроби $$ \dfrac{19}{95},\quad\dfrac{199}{995},\quad\dfrac{1999}{9995},\quad \dfrac{199\ldots9}{99\ldots95},\quad\ldots $$ можно «сократить», «зачеркнув» все девятки.
- Есть ли ещё дроби, допускающие подобное обращение?
Обозначим через
$S(n)$ сумму цифр числа$n$. Докажите, что последовательность$S(1979)$, $S(1979^2)$, $S(1979^3)$, $\ldots$ не ограничена.
Ответы, указания, решения
- Имеем:
$$
\begin{gather*}
\overbrace{11\ldots11}^n\overbrace{55\ldots56}^n=
\overbrace{11\ldots1}^n\cdot10^n+5\cdot\overbrace{11\ldots1}^n+1,\tag1\\
\overbrace{11\ldots1}^n=1+10+10^2+\ldots+10^{n-1}=\dfrac{10^n-1}9.\tag2
\end{gather*}
$$
Подставляя (2) в (1), получаем:
$$
\overbrace{11\ldots11}^n\overbrace{55\ldots56}=\dfrac19(10^n-1)\cdot10^n+
\dfrac59(10^n-1)+1=\left(\dfrac{10^n+2}3\right)^2.
$$
Поскольку
$10^n$ при делении на 3 даёт в остатке 1, число$\dfrac{10^n+2}3$ — целое.
- Имеем:
$$
\begin{gather*}
\overbrace{11\ldots11}^n\overbrace{55\ldots56}^n=
\overbrace{11\ldots1}^n\cdot10^n+5\cdot\overbrace{11\ldots1}^n+1,\tag1\\
\overbrace{11\ldots1}^n=1+10+10^2+\ldots+10^{n-1}=\dfrac{10^n-1}9.\tag2
\end{gather*}
$$
Подставляя (2) в (1), получаем:
$$
\overbrace{11\ldots11}^n\overbrace{55\ldots56}=\dfrac19(10^n-1)\cdot10^n+
\dfrac59(10^n-1)+1=\left(\dfrac{10^n+2}3\right)^2.
$$
Поскольку
$9\overbrace{0\ldots0}^n6\overbrace{0\ldots0}^n1=9\cdot10^{2n+2}+ 2\cdot3\cdot10^{n+1}+1=(3\cdot10^{n+1}+1)^2$. - 121, 144, 169, 441, 484.
$\dfrac{1\overbrace{9\ldots9}^n}{\underbrace{9\ldots9}_n5}= \dfrac{2\cdot10^n-1}{10^{n+1}-5}=\dfrac{2\cdot10^n-1}{10\cdot10^n-5}= \dfrac15.$ $\dfrac{1\overbrace{6\ldots6}^n}{\underbrace{6\ldots6}_n4}=\dfrac14$ и$\dfrac{2\overbrace{6\ldots6}^n}{\underbrace{6\ldots6}_n5}=\dfrac25$ (при любом$n$).