Хлобыстов В.

В пересечении — одна точкаХлобыстов В. В пересечении — одна точка // Квант. — 1981. — № 12. — С. 41.‍‍

Сейчас мы на простом алгебраическом уравнении проиллюстрируем один нестандартный приём решения уравнений. Вот это уравнение: $$ \sqrt{\dfrac{x-1}2}-\sqrt{\dfrac{3-x}2}=\dfrac{x^2+9}{6x}. $$

Возможно, вы легко придумаете этот «приём» сами. Поэтому, прежде чем читать наше решение, попробуйте это уравнение решить самостоятельно.

Решение. Данное уравнение таково, что области значений функции $$ f(x)=\sqrt{\dfrac{x-1}2}-\sqrt{\dfrac{3-x}2}, $$ стоящей в его левой части, и функции $$ g(x)=\dfrac{x^2+9}{6x}, $$ стоящей в его правой части, пересекаются по одной точке.

В самом деле, $[f(x)]^2=1-\sqrt{(x-1)(3-x)}$‍,‍ откуда $[f(x)]^2\le1$‍,‍ $|f(x)|\le1$‍.‍ С другой стороны, при $x\gt0$‍‍ (поскольку область определения функции $f$‍‍ есть отрезок $[1;3]$‍,‍ функция $g$‍‍ при $x\lt0$‍‍ нас не интересует) $$ g(x)=\dfrac{x^2+9}{6x}=\dfrac x6+\dfrac3{2x}\ge2\cdot\sqrt{\dfrac x6\cdot \dfrac3{2x}}=1 $$ (мы воспользовались здесь легко доказываемым неравенством: $a+b\ge2\sqrt{ab}$‍‍ при $a\gt0$‍,‍ $b\gt0$‍).‍ Таким образом, $f(x)\le1$‍,‍ а $g(x)\ge1$‍.‍ Поэтому рассматриваемое уравнение равносильно системе $$ \left\{\begin{array}{l} \sqrt{\dfrac{x-1}2}-\sqrt{\dfrac{3-x}2}=1,\\ \dfrac{x^2+9}{6x}=1. \end{array}\right. $$ Единственный корень $x=2$‍‍ уравнения $\dfrac{x^2+9}{6x}=1$‍‍ является корнем и первого уравнения этой системы.

Упражнения

Решите уравнения

1. $\sqrt{\dfrac{2\cos x}3}+\sqrt{\dfrac{2-2\cos x}3}= \dfrac23\sin x+\dfrac1{2\sin x}$‍.‍
2. $\sqrt{1-\sin x}+\sqrt{\sin x\vphantom1}=2\cos x-\cos^2x$‍.‍