Изображения страниц
Текст статьи Задачи наших читателей // Квант. — 1981. — № 11. — С. 10.
Так называемый ударный трансформатор Гюйгенса представляет собой жёлоб, в котором лежат
$n$ тел. Их массы$m_1$, $m_2$, $\ldots$, $m_n$, связаны условием$\dfrac{m_i}{m_{i+1}}=k\gt1$. Ecли первое тело начинает двигаться со скоростью$v_1$, то после всех соударений (соударения абсолютно упругие) последнее тело покидает жёлоб со скоростью$v_n\gg v_1$ (исторически это один из первых способов получения больших скоростей). Найдите выражения для отношения$\dfrac{v_n}{v_1}$ и для коэффициента полезного действия$\text{КПД}=\dfrac{m_nv_n^2}{m_1v_1^2}$ как функций$k$ и$n$. Покажите, что при заданном$\dfrac{v_n}{v_1}$ существует такое$k$, при котором КПД максимален.Широко распространённые спиртовые термометры обладают весьма существенным недостатком: если их использовать для измерения температуры воздуха на улице, где они освещаются солнечными лучами, термометры довольно быстро (в течение одного-двух лет) начинают давать заниженные показания. Причиной тому является уменьшение количества спирта, связанное с испарением спирта с поверхности окрашенного столбика и конденсацией паров в верхней части трубки термометра. Можно ли восстановить такой термометр и тем самым увеличить срок его службы?
Две комнаты разделены звуконепроницаемой перегородкой, в которой имеется дырка в виде квадрата со стороной 2 см. Ширина перегородки 2 м, высота комнат тоже 2 м. Оцените, во сколько раз ухудшились бы звукоизоляционные параметры, если бы обивка перегородки была вдобавок не идеальной, а пропускала бы одну сотую часть звуковой мощности.
Ответы, указания, решения
- Из законов сохранения импульса и энергии получаем
$$
\dfrac{v_n}{v_1}=\left(\dfrac{2k}{k+1}\right)^{n-1}\quad\text{и}\quad
\text{КПД}=\left(\dfrac{4k}{(k+1)^2}\right)^{n-1}.
$$
Отсюда видно, что при фиксированном
$n$ отношение$\dfrac{v_n}{v_1}$ с ростом$k$ растёт сначала быстро, а потом достигает насыщения, КПД же уменьшается без насыщения. Поэтому существует оптимальное значение$k$ для всякого$n$, а значит — и для всякого отношения$\dfrac{v_n}{v_1}$. - При освещении термометра солнечными лучами окрашенный столбик спирта заметно нагревается, тогда как прозрачная пустая часть трубки термометра остаётся относительно холодной. Это приводит к перегонке спирта из нагретого столбика в «охлаждённую» верхнюю часть трубки. Для восстановления термометра нужно создать противоположные условия — верхнюю часть термометра поместить над нагревателем. Нагревшись, спиртовой конденсат испарится и затем сконденсируется на сравнительно холодном окрашенном столбике спирта — термометр полностью восстановится.
- Пусть в одной из комнат находится источник звука. Ясно, что через дырку
в перегородке в соседнюю комнату будет проникать часть звуковой мощности,
падающей на перегородку, равная отношению площади дырки к площади
перегородки, т. е.
$\dfrac{S_{\text{д}}}{S_{\text{п}}}$. Если же обивка не идеальная (пропускает сотую часть звуковой мощности), то в соседнюю комнату звук проходит не только через дырку, но и через саму перегородку тоже. Таким образом, отношение звуковых мощностей, проникающих в соседнюю комнату во втором и в первом случаях, равно $$ k=\dfrac{\dfrac{S_{\text{д}}}{S_{\text{п}}}+0{,}01} {\dfrac{S_{\text{д}}}{S_{\text{п}}}}= 1+\dfrac{10^{-2}}{4\cdot\dfrac{10^{-4}}4}=101. $$ Итак, пусть лучше в перегородке будет дырка, чем если перегородка будет сплошной, но тонкой.