Изображения страниц
Текст статьи Задачи наших читателей // Квант. — 1980. — № 7. — С. 9.
Найдите все выпуклые четырёхугольники, удовлетворяющие следующему условию: четыре прямые, проходящие через вершины четыр`хугольника и делящие его
- площадь,
- периметр
пополам, пересекаются в одной точке.
- Впишите квадрат в правильный пятиугольник.
- Докажите, что правильный пятиугольник нельзя вписать в правильный шестиугольник.
- Докажите, что при
$n\gt5$ правильный$n$ -угольник нельзя вписать в правильный$(n+1)$ -угольник.
Положим $$ \begin{aligned} \sin_1{}(x)&=\sin x,\\ \sin_2{}(x)&=\sin{}(\sin_1{}(x)),\\ \sin_3{}(x)&=\sin{}(\sin_2{}(x)),\\ {\ldots}\,{\ldots}&\,{\ldots}\,{\ldots}\,{\ldots}\,{\ldots,} \end{aligned} \qquad \begin{aligned} \cos_1{}(x)&=\cos x,\\ \cos_2{}(x)&=\cos{}(\cos_1{}(x)),\\ \cos_3{}(x)&=\cos{}(\cos_2{}(x)),\\ {\ldots}\,{\ldots}&\,{\ldots}\,{\ldots}\,{\ldots}\,{\ldots} \end{aligned} $$
- Постройте графики функций $$ y=\sin_2{}(x),\quad y=\sin_3{}(x),\quad y=\cos_2{}(x),\quad y=\cos_3{}(x). $$
- При каких
$n$ уравнение$\sin_n{}(x)=\cos_n{}(x)$ имеет решение на$\left[0;\dfrac\pi2\right]$?
Докажите неравенства $$ 9r\le h_a+h_b+h_c\le\dfrac23\,\dfrac{m_a^2+m_b^2+m_c^2}R, $$ где
$h_a$, $h_b$, $h_c$ — длины высот данного треугольника,$m_a$, $m_b$, $m_c$ — длины его медиан,$r$ — радиус вписанной в тpeугольник окружности,$R$ — радиус окружности, описанной около него.
Ответы, указания, решения
- Одна из диагоналей четырёхугольника делит другую пополам.
- Это либо параллелограммы, либо трапеции, у которых длина большего основания составляет четверть периметра, либо дельтоиды (четырёхугольники, у которых длины сторон, примыкающие к концам одной из диагоналей, попарно равны).