Изображения страниц
Текст статьи Задачи наших читателей // Квант. — 1980. — № 6. — С. 13.
Докажите неравенства (1—4):
- $$n!\le\left(\dfrac{n+1}2\right)^n;$$
- $$1+\sqrt{2!}+\sqrt[\scriptstyle3~]{3!}+\ldots+ \sqrt[\scriptstyle n~]{n!}\le\dfrac{n(n+3}4;$$
- $$a_1^{a_1}a_2^{a_2}\ldots a_n^{a_n}\ge(a_1a_2\ldots a_n)^
{\frac{\scriptstyle a_1+a_2+\ldots+a_n}{\scriptstyle n}},$$
где
$a_i\gt0$ ($i=1$, 2,$\ldots$, $n$). - $$x^{2n}+x^{2n-1}+x^{2n-2}+\ldots+x+\dfrac n{2(n+1)}\gt0,$$
где
$n\ge2$. Пусть
$p$ — простое число и$p\gt11$. Докажите, что разность$p^{60}-1$ делится на 1980.Докажите, что число $$ 1^{100}-2^{100}+3^{100}-4^{100}+\ldots+1977^{100}-1978^{100}+1979^{100} $$ делится на
$199\,879$.
Ответы, указания, решения
- Поскольку
$p$ — нечётно,$p^{60}-1$ делится на 4. Согласно малой теореме Ферма́ (если$p$ — простое число и$a$ не делится на$p$, то$a^{p-1}-1$ делится на$p$ ), разность$p^{60}-1$ при$p\gt11$ делится на 5 и 11. По той же теореме разность$p^{20}-1$ делится на 3, откуда легко вывести, что$p^{60}-1$ делится на 9. Поэтому$p^{60}-1$ делится на$4\cdot5\cdot9\cdot11=1980$. Поскольку
$199\,879=101\cdot1979$ и числа 101 и 1979 взаимно просты, достаточно доказать, что данное выражение одновременно делится на 101 и 1979.Делимость на 1979 вытекает из следующего представления: $$ 1979^{100}-(1978^{100}-1^{100})+(1977^{100}-2^{100})-(1976^{100}-3^{100})+ \ldots-(990^{100}-989^{100}) $$ (каждая разность
$a^{2n}-b^{2n}$ делится нa$a+b=1979$). Для доказательства делимости на 101 заметим, что в данном выражении имеется 10 чисел
$101^{100}$, $303^{100}$, $\ldots$, $1919^{100}$, делящихся на 101 со знаком «плюс», и 9 чисел$202^{100}$, $404^{100}$, $\ldots$, $1818^{100}$ — со знаком «минус», так что среди оставшихся 1960 чисел имеется по 980 чисел со знаками «плюс» и «минус». Поэтому данное выражение можно (прибавив и отняв по 980 единиц) представить в виде $$ (1^{100}-1)-(2^{100}-1)+(3^{100}-1)-\ldots+(1979^{100}-1)+101A, $$ где каждая из разностей делится на 101 (см. малую теорему Ферма́, упомянутую в решении задачи 5).