«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Каждая сторона выпуклого четырёхугольника разделена на 8 равных частей. Соответствующие точки деления на противоположных сторонах соединены друг с другом, и полученные клетки раскрашены в шахматном порядке. Докажите, что сумма площадей чёрных клеток равна сумме площадей белых клеток.
В каждой клетке бесконечного листа клетчатой бумаги записано натуральное число.
На сфере построен треугольник, одна «сторона» которого имеет величину $120^\circ$. Докажите, что «медиана», опущенная на эту «сторону», делится каждой из двух других «медиан» на две равные части. («Медианы» и «стороны» — дуги больших окружностей.)
В условии задачи М630, опубликованной в «Кванте» (1980, № 6, с. 19), допущена неточность. Первые два предложения должны быть таковы:
На плоскости даны окружность $\gamma$ и точка $K$. Проведём через произвольные точки $P$,…
Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что
Задан набор квадратов, сумма площадей которых равна 4. Докажите, что квадратами этого набора всегда можно покрыть квадрат площади 1.
Убывающая последовательность $(x_n)$ положительных чисел такова, что при любом натуральном $n$ $$ \dfrac{x_1}1+\dfrac{x_4}2+\dfrac{x_9}3+\ldots+\dfrac{x_{n^2}}n\le1. $$ Докажите, что при любом натуральном $n$ $$ \dfrac{x_1}1+\dfrac{x_2}2+\dfrac{x_3}3+\ldots+\dfrac{x_n}n\lt3. $$
Кенгуру прыгает по углу $x\ge0$, $y\ge0$ координатной плоскости $Oxy$ следующим образом: из точки $(x;y)$ кенгуру может прыгнуть в точку $(x+1;y-1)$ или в точку $(x-5;y+7)$, причём прыгать в точки, у которых одна из координат…
Конечная последовательность $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ из чисел 0 и 1 должна удовлетворять следующему условию: для любого целого $k$ от 0 до $n-1$ сумма $$ a_1a_{k+1}+a_2a_{k+2}+\ldots+a_{n-k}a_n $$ является нечётным числом.
