Изображения страниц
Текст статьи Задачи наших читателей // Квант. — 1980. — № 3. — С. 8.
Какие значения может принимать сумма $$ S=\dfrac1{1+a_1}+\dfrac1{1+a_2}+\ldots+\dfrac1{1+a_n}, $$ где все числа
$a_i$ положительны и$a_1a_2\ldots a_n=1$? Если число
$2^{2k}+2^k+1$ простое, то оно — делитель числа$2^{2k+1}-1$. Докажите.Докажите равенства:
- $$\cos\frac{2\pi}{21}+\cos\frac{8\pi}{21}+\cos\frac{10\pi}{21}= \dfrac{\sqrt{21}+1}4;$$
- $$\cos\frac{2\pi}{35}+\cos\frac{12\pi}{35}+\cos\frac{18\pi}{35}= \dfrac12\cos\dfrac\pi5+\dfrac{\sqrt7}2\sin\dfrac\pi5.$$
Ha рогатку подвешен груз (рис.). Широкий конец рогатки медленно опускают. Определите, при каком угле наклона
$\psi$ груз соскользнёт с рогатки. Угол развода рогатки$\phi$, длина нити, на которой подвешен груз,$l$. 
Ответы, указания, решения
- Ответ:
$S\in(1;n-1)$. - Если
$n\ne3m$, то многочлен$x^{2n}+x^n+1$ делится на многочлен$x^2+x+1$ (верно также и обратное). Значит, число$2^{2k}+2^k+1$ может быть простым лишь при$k=3^t$. Но число$2^{3^t}+1$ делится на$3^{t+1}$. Следовательно,$2^{2^{3^t+1}}-1$ делится на $$ 2^{3^{t+1}-1}-1=2^{3k}-1=(2^k-1)(2^{2k}+2^k+1). $$ - Докажите равенства $$ \begin{gathered} \cos\dfrac\pi7+\cos\dfrac{3\pi}7+\cos\dfrac{5\pi}7=\dfrac12,\\ \sin\dfrac\pi7\sin\dfrac{2\pi}7\sin\dfrac{3\pi}7=\dfrac{\sqrt7}8. \end{gathered} $$ Затем $$ \begin{gathered} \cos\dfrac{8\pi}{35}+\cos\dfrac{12\pi}{35}+\cos\dfrac{18\pi}{35}= \cos\left(\dfrac{3\pi}7-\dfrac\pi5\right)+ \cos\left(\dfrac\pi7+\dfrac\pi5\right)+ \cos\left(\dfrac{5\pi}7-\dfrac\pi5\right)=\\ =\left(\cos\dfrac{3\pi}7+\cos\dfrac\pi7+\cos\dfrac{5\pi}7\right)\cos\dfrac\pi5 +\left(\sin\dfrac{3\pi}7-\sin\dfrac\pi7+\sin\dfrac{5\pi}7\right)\sin\dfrac\pi5. \end{gathered} $$ Осталось показать, что $$ \sin\dfrac{3\pi}7-\sin\dfrac\pi7+\sin\dfrac{5\pi}7= 4\sin\dfrac\pi7\sin\dfrac{2\pi}7\sin\dfrac{3\pi}7. $$