Изображения страниц
Текст статьи Задачи наших читателей // Квант. — 1980. — № 12. — С. 14.
Известно, что $$ F\left(\dfrac{x+1}{x-2}\right)+2F\left(\dfrac{x-2}{x+1}\right)=x. $$ Найдите
$F(x)$. Пусть давно равенство
$x^{2m}+y^{2m}=z^{2m}$, где$x$, $y$, $z$, $m\gt1$ — натуральные числа. Докажите, что$x$, $y$, $z$ не могут образовывать прогрессию — ни арифметическую, ни геометрическую.Обозначим через
$S(A)$ сумму цифр числа$A$. Докажите, что последовательность$\left(\dfrac{S(n^2)}{S(n)}\right)$, $n\in\mathbb{N}$ не ограниченна.Верно ли аналогичное утверждение для последовательности
$\left(\dfrac{S(n)}{S(n^2)}\right)$?
Ответы, указания, решения
- Обозначив
$\dfrac{x-2}{x+1}$ через$t$, получим $$ F\left(\dfrac1t\right)+2F(t)=\dfrac{t+2}{1-t},\quad t\ne0,~t\ne1.\tag1 $$ Значит, заменив в (1)$t$ на$\dfrac1t$, получим $$ F(t)+2F\left(\dfrac1t\right)=\dfrac{1+2t}{t-1}.\tag2 $$ Из равенств (1) и (2) находим$F(t)=\dfrac{4t+5}{3(1-t)}$, т. е. $$ F(x)=\dfrac{4x+5}{3(1-x)}. $$ Это выражение для$F(x)$ мы получили при$x\ne0$ и$x\ne1$. При$x=1$ выражение для$F(x)$ теряет смысл. Однако непосредственная проверка показывает, что при$x=0$ найденное выражение для$F(x)$ удовлетворяет данному равенству.