Задачи наших читателейЗадачи наших читателей // Квант. — 1980. — № 1. — С. 40.‍‍

Используя неравенство Коши‍—‍Буняковского $$ (A_1^2+A_2^2+\ldots+A_N^2)(B_1^2+B_2^2+\ldots+B_N^2)\ge (A_1B_1+A_2B_2+\ldots+A_NB_N)^2 $$ (доказательство его см. в статье В. Левина «Парабола и неравенства»‍ — «Квант», 1976, № 4; для $N=2$‍‍ и $N=3$‍‍ очевиден геометрический смысл этого неравенства: произведение длин двух векторов не меньше их скалярного произведения), решите следующие задачи:

1. Найдите наименьшие значения выражений

   1. $$(x+y)^2+(x+a)^2+(y+b)^2,$$ где $a$‍‍ и $b$‍‍ — параметры;
   2. $$(x+y+z)^2+(x+a)^2+(y+b)^2+(z+c)^2,$$ где $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍‍ — параметры;
   3. $$(x_1+x_2+\ldots+x_n)^2+(x_1+a_1)^2+(x_2+a_2)^2+\ldots+(x_n+a_n)^2,$$ где $a_i$‍‍ — napaметры.

   При каких значениях переменных достигаются эти значения?

2. Докажите, что квадрат любого действительного корня многочлена $$ P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0 $$ меньше суммы квадратов всех его коэффициентов.

Л. Пугач