Изображения страниц
Текст статьи Задачи наших читателей // Квант. — 1979. — № 9. — С. 14.
Найдите суммы первых
- $$1+101+10101+1010101+\ldots$$
- $$3+3003+3003003+3003003003+\ldots$$
- $$1\cdot2+2\cdot3+3\cdot4+4\cdot5+\ldots$$
- $$1\cdot5+2\cdot7+3\cdot9+4\cdot11+\ldots$$
- $$11\cdot13+13\cdot15+15\cdot17+17\cdot19+\ldots$$
- $$1\cdot3+2\cdot13+3\cdot23+4\cdot33+\ldots$$
- $$19\cdot21+30\cdot28+41\cdot35+52\cdot42+\ldots$$
Сделать это вам помогут следующие две задачи.
Задача 1. Даны арифметическая прогрессия
Задача 2. Пусть есть две арифметические прогрессии:
Ответы, указания, решения
Задача 1.$$ \begin{array}{ll} S=\dfrac b{(1-q)^2}[(a+(n-1)d)q^{n+1}-(a+nd)q^n-(a-d)q+a],&\text{если}~q\ne1;\\ S=nab+\dfrac{n(n-1)}2bd,&\text{если}~q=1. \end{array} $$
Задача 2.$$ \Sigma=nab+\dfrac{n(n-1)}2(d_1b+d_2a)+\dfrac{n(n-1)(2n-1)}6d_1d_2. $$
- $$\dfrac1{99^2}[(2n-1)\cdot100^{n+1}-2n\cdot100^n-99n+100].$$
- $$\dfrac3{999^2}[(2n-1)\cdot10^{3(n+1)}-2n\cdot10^{3n}-999n+1000].$$
- $$\dfrac13n(n+1)(n+2).$$
- $$\dfrac13n(4n^2+12n-1).$$
- $$143n+24n(n-1)+\dfrac23n(n-1)(2n-1).$$
- $$3n+\dfrac{13}2n(n-1)+\dfrac53n(n-1)(2n-1).$$
- $$399n+182n(n-1)+\dfrac{77}6n(n-1)(2n-1).$$