Текст статьи Задачи наших читателей // Квант. — 1979. — № 8. — С. 17, 25.
Окружность, вписанная в треугольник
$ABC$, касается его сторон$BC$, $CA$ и$AB$ в точках$G_a$, $G_b$ и$G_c$, соответственно. Вневписанные окружности касаются сторон$BC$, $CA$ и$AB$ в точках$N_a$, $N_b$ и$N_c$. Пусть$r$, $r_a$, $r_b$ и$r_c$ — радиусы вписанной и вневписанных окружностей соответственно. Докажите следующие равенства:- $$\dfrac1{|AG_c|\cdot|G_cB|}+\dfrac1{|BG_a|\cdot|G_aC|}+ \dfrac1{|CG_b|\cdot|G_bA|}=\dfrac1{|AN_c|\cdot|N_cB|}+ \dfrac1{|BN_a|\cdot|N_aC|}+\dfrac1{|CN_b|\cdot|N_bA|}=\dfrac1{r^2};$$
- $$\dfrac{|BN_a|^2}{r_ar_b}+\dfrac{|CN_b|^2}{r_br_c}+ \dfrac{|AN_c|^2}{r_cr_a}=\dfrac{|AN_b|^2}{r_ar_b}+\dfrac{|BN_c|^2}{r_br_c}+ \dfrac{|CN_a|^2}{r_cr_a}=1;$$
- $$|AG_c|^2\cdot\tg\dfrac{\widehat A}2+
|BG_a|^2\cdot\tg\dfrac{\widehat B}2+|CG_b|^2\cdot\tg\dfrac{\widehat C}2=
|AN_c|^2\cdot\tg\dfrac{\widehat A}2+|BN_a|^2\cdot\tg\dfrac{\widehat B}2+
|CN_b|^2\cdot\tg\dfrac{\widehat C}2=|AN_b|^2\cdot\tg\dfrac{\widehat C}2+
|BN_c|^2\cdot\tg\dfrac{\widehat A}2+|CN_a|^2\cdot\tg\dfrac{\widehat B}2=S,
$$
где
$S$ — площадь треугольника$ABC$.
Из вершин
$B$ и$C$ ($C$ и$A$, $A$ и$B$) треугольника$ABC$ восставлены перпендикуляры к сторонам$AB$ и$CA$ ($BC$ и$AB$, $CA$ и$BC$ соответственно) до пересечения с биссектрисой угла$\widehat A$ ($\widehat B$, $\widehat C$ соответственно) в точках$B_a$ и$C_a$ ($C_b$ и$A_b$, $A_c$ и$B_c$). Пусть$h_a$, $h_b$, $h_c$ — длины высот, опущенных, соответственно, из вершин$A$, $B$ и$C$; $a$, $b$, $c$ — длины сторон$BC$, $CA$ и$AB$, $r$ — радиус окружности, вписанной в тpeугольник$ABC$, $p$ — его полупериметр. Докажите, что:- $$\dfrac1{h_a|CC_b|}+\dfrac1{h_b|AA_c|}+\dfrac1{h_c|BB_a|}= \dfrac1{h_a|BB_c|}+\dfrac1{h_b|CC_a|}+\dfrac1{h_c|AA_b|}=\dfrac1{2r^2};$$
- $$\dfrac{ab^3}{|CA_c|^2}+\dfrac{bc^3}{|AB_a|^2}+\dfrac{ca^3}{|BC_b|^2}= \dfrac{a^3b}{|CB_c|^2}+\dfrac{b^3c}{|AC_a|^2}+\dfrac{c^3a}{|BA_b|^2}=p^2. $$
$A_0$, $B_0$ и$C_0$ — основания высот остроугольного треугольника$ABC$, опущенных, соответственно, из вершин$A$, $B$ и$C$. Прямые, соединяющие вершины$A$, $B$ и$C$ с центром описанной около треугольника$ABC$ окружности, пересекают прямые$B_0C_0$, $C_0A_0$ и$A_0B_0$ в точках$M_a$, $M_b$ и$M_c$ соответственно. Докажите равенства:- $$|M_aB_0|=|M_bA_0|,~|M_bC_0|=|M_CB_0|,~|M_cA_0|=|M_aC_0|;$$
- $$|M_aB_0|+|M_bC_0|+|M_cA_0|=d,$$
где
$d$ — длина отрезка, соединяющего проекции основания любой высоты треугольника$ABC$ на две другие его стороны.