Изображения страниц
Текст статьи Задачи наших читателей // Квант. — 1979. — № 6. — С. 15.
Докажите, что если
$a$ и$b$ — натуральные числа, то$ab(a^4-b^4)$ делится на 5.Докажите, что уравнение
$7^x+10^y=13^z$ не имеет решений в натуральных числах.Решите уравнения
- $$\overline{abc}=abc(a+b+c);$$
- $$\overline{abc}=abc+\overline{ab}+\overline{bc}+ \overline{ca\vphantom b};$$
- $$\overline{abc}=a!+b!+c!.$$
Докажите, что число $$ \sqrt[\raisebox{3pt}{$\scriptstyle4$}~]{1 \underbrace{00\ldots0}_{n~\text{нулей}}4 \underbrace{00\ldots0}_{n~\text{нулей}}6 \underbrace{00\ldots0}_{n~\text{нулей}}4 \underbrace{00\ldots0}_{n~\text{нулей}}1} $$ — целое и найдите его.
Ответы, указания, решения
- Указание. Если ни
$a$, ни$b$ не делятся на 5, то$a^4$ и$b^4$ дают при делении на 5 в остатке 1. - Указание. Исследуйте делимость данных чисел на 3.
- а)
$\overline{abc}=144$; б)$\overline{abc}=118$; в)$\overline{abc}=145$. $10^{n+1}+1$.