Задачи наших читателейЗадачи наших читателей // Квант. — 1979. — № 6. — С. 8.‍‍

Число $a$‍‍ представили в виде $a=m_1+n_1=m_2+n_2$‍.‍ Докажите, что тогда $$ 3m_1n_1\le m_2^2+m_2n_2+n_2^2. $$

В. Федюшкин (г. Щекино)

Дан треугольник $ABC$‍,‍ $H$‍‍ — точка пересечения его высот, $M$‍‍ — точка пересечения медиан. Докажите, что

1. $$\dfrac{|BM|}{\sin\widehat{AMC}}=\dfrac{|AM|}{\sin\widehat{BMC}}= \dfrac{|CM|}{\sin\widehat{AMB}}\mathrlap;$$
2. $$\dfrac{|BH|}{\cos\widehat{AHC}}=\dfrac{|AH|}{\cos\widehat{BHC}}= \dfrac{|CH|}{\cos\widehat{AHB}}$$

(если все эти дроби определены).

А. Ягубьянц (г. Ростов-на-Дону)

Докажите, что сумма $2k$‍‍ ($k\gt1$‍)‍

1. нечётных последовательных степеней числа 7 делится на 350;
2. чётных последовательных степеней числа 7 делится на 2450.

И. Михалкович (Минская обл.)

Обозначим через $q(n)$‍‍ число нулей, которыми оканчивается число $n!$‍,‍ а через $s(n)$‍‍ — сумму цифр числа $n$‍‍ в пятеричной системе счисления. Докажите, что $$ n-s(n)=4q(n). $$

В. Стовба (г. Зеленоград)