Задачи наших читателейЗадачи наших читателей // Квант. — 1979. — № 10. — С. 57.‍‍

Найдите наименьшее значение суммы $\sum\limits_{i=1}^n{\left(a_i+\dfrac1{a_i}\right)^2}$‍,‍ если известно, что $\sum\limits_{i=1}^na_i=S$‍‍ и $a_i\gt0$‍.‍ При каких $a_i$‍‍ оно достигается?

В. Любимов (Москва)

Пусть $a_1$‍,‍ $a_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $a_n$‍‍ — произвольные числа одного знака, среди которых есть различные. Докажите, что $$ \left(\sum\limits_{i=1}^na_i\right)^2\cdot\sum\limits_{i=1}^n\dfrac1{a_i^2}\gt n^3. $$

Т. Райков (Болгария)

Докажите следующие оценки:

1. $$1+\dfrac a{2+0{,}5a}\lt\sqrt{1+a}\lt1+\dfrac a{2+0{,}4a},\quad \text{где}~0\lt a\lt 1;$$
2. $$1+\dfrac a{3+a}\lt\sqrt[\scriptstyle3]{1+a}\lt 1+\dfrac a{3+0{,}9a},\quad\text{где}~0\lt a\lt\dfrac12.$$

Пользуясь оценкой б), вычислите приближённо $\sqrt[\scriptstyle3]2$‍.‍

С. Берколайко (с. Котово Белгородской обл.)

Докажите, что при $0\lt x\lt\dfrac\pi2$‍‍ $$ \sin^mx\cdot\cos^nx\le\sqrt{\dfrac{m^m\,n^n}{(m+n)^{m+n}}}. $$

Я. Суконник (Киев)