Изображения страниц
Текст статьи Задачи наших читателей // Квант. — 1978. — № 9. — С. 32.
Докажите неравенство $$ \sqrt2+\sqrt{4-2\sqrt2}+\sqrt{6-2\sqrt6}+\ldots+\sqrt{2n-2\sqrt{(n-1)n}}\ge \sqrt{n(n+1)}. $$
Назовём натуральное число
$A$ интересным, если при вычитании из него числа, состоящего из тех же цифр, но записанных в обратном порядке, получается натуральное число, состоящее из тех же цифр, что и$A$. Таковым, например, является число 1980, так как$1980-891=1089$ (подразумевается, что$0891=891$). - Существует ли 1978-значное интересное число, состоящее только из единиц, четвёрок и семёрок?
- Найдите все трёхзначные интересные числа.
- Существуют ли четырёхзначные интересные числа, отличные от 1980?
- Сколько существует интересных чисел, цифры которых образуют арифметическую прогрессию?
- Докажите, что 1979-значных интересных чисел будет больше
$10^{100}$. - Для какого натурального
$N$ существует$N$ -значное интересное число?
Докажите без помощи таблиц, что
$\tg34^\circ\gt\dfrac23$. Постройте бесконечную последовательность чисел, в которой первый член равен
$a$ ($a\ne1$) и сумма любого числа первых членов равна их произведению.
Ответы, указания, решения
- Указание. Возьмём на координатной плоскости точки
$M_k(k;\sqrt k)$ ($k=0$, 1,$\ldots$, $n$). Тогда $$ |M_{k-1}M_k|=\sqrt{2k-2\sqrt{(k-1)k}}, $$ а$|M_0M_n|=\sqrt{n(n+1)}$. - Нет (рассмотрите остаток от деления
$A$ на 9); - 954;
- 2961, 3870, 5823, 7642, 9108 (других автор не знает);
- два:
$9\,876\,543\,210$ и$987\,654\,321$; $N\ge3$.
- Нет (рассмотрите остаток от деления
- Указание. Каждый член последовательности, начиная со второго,
равен
$\dfrac{S_n}{S_n-1}$, где$S_n$ — сумма (или произведение) всех предыдущих членов.