Задачи наших читателейЗадачи наших читателей // Квант. — 1978. — № 9. — С. 29.‍‍

Доказать, что

1. $7^{444}-1$‍‍ делится на 1976;
2. $7^{n!}-1$‍‍ делится на 1976 при $n\ge4$‍.‍

С. Майзус (г. Запорожье)

Существуют ли натуральные числа, куб которых оканчивается (в десятичной записи) цифрами 1976?

И. Гопенгауз (г. Москва)

У некоторого целого числа подсчитали сумму цифр, у полученного числа вновь подсчитали сумму цифр и т. д. Всего эту операцию проделали 1978 раз. В результате получили число 1979. Может ли исходное число иметь 1978 различных делителей (включая само число, но не единицу)?

А. Альтшулер (г. Москва)

Если записать число 1978 словами и подсчитать количество букв в такой записи (тысяча девятьсот семьдесят восемь), то получится число 30. Для него та же операция даст число 8 и т. д. Получится последовательность 1978, 30, 8, 6, 5, 4, 6, 5, 4, $\ldots$‍‍

1. Доказать, что, чем бы ни начиналась подобная последовательность, она с некоторого номера начнёт циклически повторяться.
2. Найти все циклы, которые могут здесь возникнуть.

М. Штеренберг (г. Саратов)