Изображения страниц
Текст статьи Задачи наших читателей // Квант. — 1978. — № 8. — С. 47.
Доказать, что
- $$S_n=\dfrac1{2^2}+\dfrac1{3^2}+\ldots+\dfrac1{n^2}\lt\dfrac23;$$
- $$P_n=\dfrac12\cdot\dfrac34\cdot\dfrac56\cdot\ldots\cdot\dfrac{2n-1}{2n} \gt\dfrac1{\sqrt{4n+1}}.$$
Пусть в треугольнике
$ABC$ сторона$AC$ — самая длинная или самая короткая. Доказать, что тогда найдётся действительное число$x$ такое, что $$ |AC|^x=|BC|^x+|AB|^x. $$Существует ли натуральное число, квадрат которого равен сумме квадратов 1000 последовательных натуральных чисел?
Доказать, что уравнения
- $$(m+1)^3+(m+2)^3+\ldots+(m+n)^3=10^k+2;$$
- $$(m+1)^5+(m+2)^5+\ldots+(m+n)^5=10^k+2$$
не имеют целочисленных решений.
Дан отрезок
$AD$ и точка$H$, принадлежащая этому отрезку, причём$|AH|:|HD|=4:1$. Построить треугольник$ABC$ так, чтобы отрезок$AD$ был его высотой, точка$H$ — ортоцентром, а радиус окружности, описанной около треугольника$ABC$, был равен$\dfrac45|AD|$. Дан треугольник
$ABC$, $[AD]$ — его медиана,$M\in[AD]$, $|AM|:|MD|=2:3$, $N\in[AB]$, $|AN|:|NB|=5:3$. Найти отношение площадей треугольников$AMN$ и$ABC$.
Ответы, указания, решения
- Указание. а)
$\dfrac1{k^2}\lt\dfrac1{k-0{,}5}-\dfrac1{k+0{,}5}$; б)$\dfrac{(2k-1)^2}{(2k)^2}\gt\dfrac{2k-1{,}5}{2k+0{,}5}$. - Указание. Найти область значений функции
$f(x)=(c^x+a^x)^{1/x}$. - Указание. Рассмотреть остатки от деления чисел на 5.
- Указание. Рассмотреть остатки от деления чисел на а) 4; б) 25.
- Указание. Точка, симметричная ортоцентру относительно стороны, лежит на описанной окружности.
$\dfrac18$.