Изображения страниц
Текст статьи Задачи наших читателей // Квант. — 1978. — № 5. — С. 34.
Куб с ребром 1 м разбит на конечное число (большее трёх) выпуклых многогранников. Каждый многогранник отмечен одной из цифр: 1, 2, 3. Докажите, что найдутся две точки различных многогранников, помеченных одной цифрой, расстояние между которыми не менее
$\sqrt{2\frac1{64}}~\text{м}$. Можно ли усилить эту оценку?Докажите, что уравнение
$x^2-2xy=1978$ не имеет решений в целых числах.Из картона вырезали равнобочную трапецию, у которой угол между диагоналями равен
$\phi$. К каким вершинам ближе её центр тяжести — к вершинам меньшего основания или большего?Король находится на нижнем крайнем левом чёрном поле шахматной доски. Он может перемещаться только по диагонали. Какое наибольшее число чёрных полей он может обойти, если на каждом поле он может побывать не более одного раза? Рассмотрите случаи, когда размеры шахматного поля
$9\times9$; $(2n-1)\times(2n-1)$; $8\times8$; $2n\times2n$.
Вычислите $$ \sum\limits_{n=1}^k\dfrac{2^n}{a^{2^{n-1}}}. $$
Две точки
$A$ и$B$ движутся так, что их скорости всё время сонаправлены и скорость точки$B$ меньше скорости точки$A$. Может ли расстояние$AB$ между точками оставаться постоянным?Когда два разных аккумулятора соединили параллельно и замкнули на лампочку, лампочка горела слабо. Когда в ту же цепь последовательно с каждым аккумулятором включили некоторое сопротивление, лампочка стала гореть ярче. Почему?
Бревно длиной
$l$ и массой$m$ поднимают из горизонтального положения в вертикальное один раз за толстый конец, а другой раз — за тонкий. Разница в совершаемых работах составляет$A$. Определите положение центра тяжести бревна.
Ответы, указания, решения
- Точки
$A$ и$B$ движутся по двум концентрическим окружностям с одинаковыми угловыми скоростями. Если в начальный момент точки находились на одном радиусе, то расстояние$|AB|$ между точками всё время будет оставаться постоянным. - Э. д. с. одного аккумулятора значительно больше э. д. с. другого. Ток, генерируемый «сильным» аккумулятором, идёт частично через лампу, а частично — через «слабый» аккумулятор, который играет роль шунта с небольшим сопротивлением. К «сильному» аккумулятору последовательно подсоединяют очень малое сопротивление, а в цепь «слабого» аккумулятора — очень большое сопротивление. Вследствие этого уменьшается ток, протекающий через «слабый» аккумулятор, и увеличивается ток, протекающий через лампу.
- Работа при подъёме бревна за толстый конец равна
$A_1=mgh_1$, где$h_1$ — pacстояние от тонкого конца до центра тяжести бревна. При подъёме бревна за тонкий конец$A_2=mgh_2$, где$h_2$ — расстояние от толстого конца до центра тяжести. По условию$A_1-A_2=A$. Решая систему $$ \left\{\begin{array}{l} h_1+h_2=l,\\ mg(h_1-h_2)=A, \end{array}\right. $$ находим $$ h_1=\dfrac12\left(l+\dfrac A{mg}\right). $$