Березин В. Н.

ЛоксодромияБерезин В. Н. Локсодромия // Квант. — 1978. — № 5. — С. Обложка (с. 2), 17.‍‍

На этом рисунке изображён тор — поверхность, напоминающая бублик, — и две окружности. Поверхность покрыта сетью «параллелей» и «меридианов». Обе выделенные окружности лежат, как это ни кажется странным на первый взгляд, в одной секущей плоскости (которая совпадает с плоскостью чертежа).

Рисунок

Эти окружности интересны не только тем, как они получены: они являются «линиями постоянного курса» на торе, т. е. пересекают все его меридианы под одним и тем же углом. Такие линии называются локсодромиями; подробнее об этом математико-географическом термине вы можете прочитать на с. 17. Там же доказывается, что при рассмотренном плоском сечении тора действительно получаются две окружности, а не только похожие на них замкнутые линии.

Взгляните внимательней на чертёж — на сколько частей наши две окружности разделяют тор?

---

Локсодромия (по-гречески λοξός — «косой», δρόμος — «бег») определяется Ha глобусе (или сфере) как кривая, пересекающая меридианы под постоянным углом (рис. 1). Если этот угол равен $0^\circ$‍,‍ локсодромия вырождается в меридиан, а если он равен $90^\circ$‍‍ — в параллель. Как видно из рисунка 1, локсодромия общего вида представляет собой кривую, бесконечно приближающуюся по спирали к полюсам и никогда их не достигающую. Локсодромию иногда называют линией постоянного курса, поскольку именно по такой траектории движется корабль в океане, когда его скорость составляет постоянный угол со стрелкой компаса.

Рисунок 1

Впервые локсодромию исследовал португальский математик, географ и изобретатель П. Нунец (1492‍—‍1577). Его имя увековечено в латинизированном названии «нониус» для приспособления в измерительных приборах, широко используемого и поныне. Но с локсодромией ему повезло меньше. Он ошибся, полагая, что кратчайшим путём между двумя точками на глобусе является путь по этой кривой. Да и само название «локсодромия» предложил ввести (в 1624 г.) не он, а голландский учёный В. Снеллиус (1581‍—‍1626). Снеллиус первым заметил, что ортогональная проекция локсодромии на экваториальную плоскость глобуса представляет собой равноугольную спираль («Квант», 1977, № 4. с. 42). В 1569 г. известный голландский картограф Г. Меркатор (1512‍—‍1594) изобрёл очень удобный для мореплавателей способ рисования географических карт; при его способе локсодромии на карте изображаются прямыми («Квант», 1970, № 7; с. 17).

Локсодромии можно рассматривать не только на глобусе, но и на любой другой поверхности вращения. Для этого следует провести через её ось вращения всевозможные плоскости, которые в пересечении с поверхностью образуют «меридианы». «Параллелями» поверхности вращения являются линии её пересечения с плоскостями, перпендикулярными оси вращения.

Локсодромии на такой поверхности определяются, как и выше, — это кривые, пересекающие меридианы под постоянным углом.

На цилиндре локсодромия — винтовая линия, на конусе — спиралеобразная кривая (одна из так называемых клелий, рассмотренных итальянским математиком Г. Гранди в 1701 г.).

Рисунок 2

Рассмотрим в плоскости прямую $z$‍‍ и не пересекающую её окружность $(O', r)$‍.‍ При. вращении окружности вокруг $z$‍‍ получаем поверхность, называющуюся тором (рис. 2). Среди локсодромий тора — его параллели и меридианы. В общем случае его локсодромия — сложная пространственная кривая, похожая на винтовую линию, обвивающуюся вокруг тора. У тора есть ещё одно семейство локсодромий. Это пары окружностей, получающихся в пересечении тора с плоскостью, перпендикулярной одной из его меридиональных плоскостей и касающейся в ней двух его меридианов (рис. 3).

Рисунок 3

Покажем аналитически, что при косом сечении тора плоскостью действительно можно получить окружность. Уравнение тора имеет вид $$ (\sqrt{x^2+y^2}-R^2)^2+z^2=r^2, $$ где $R$‍‍ — расстояние от $O'$‍‍ до $z$‍‍ (докажите это). Обозначив $a=\sqrt{R^2-r^2}$‍,‍ это уравнение можно переписать в виде $$ (x^2+y^2+z^2+a^2)^2=4R^2(x^2+y^2) $$ или $$ (x^2+y^2+z^2-a^2+2ry)(x^2+y^2+z^2-a^2-2ry)=4(rx-az)(rx+az). $$

Отсюда видно, что плоскость (касающаяся двух меридианов — рис. 3) $$ rx-az=0 $$ пересекает тор по той кривой, по которой она пересекает пару сфер $$ x^2+(y\pm r)^2+z^2=R^2, $$ т. е. по паре окружностей. Описанное сечение тора плоскостью показано на второй странице обложки. То, что каждая из полученных окружностей действительно является локсодромией, мы здесь доказывать не будем.