Изображения страниц
Текст статьи Задачи наших читателей // Квант. — 1978. — № 3. — С. 18.
Для некоторой функции
$f$ при всех$x$ верно соотношение $$ f(x)=f(x-a)\cdot f(x+a), $$ где$a$ — некоторое фиксированное число. Доказать, что- функция
$f$ периодическая; $f(x-5a)\cdot f(x+5a)=f(x-7a)\cdot f(x+7a)$; - найти период функции
$f$.
- функция
Выпишем все простые числа, умноженные (каждое) на некоторое фиксированное натуральное число, одно за другим. Доказать, что в полученной последовательности цифр каждая цифра от 0 до 9 будет встречаться бесконечное число раз.
Доказать, что если
$x_0$ является общим корнем квадратных трёхчленов$a_1x^2+b_1x+c_1$ и$a_2x^2+b_2x+c_2$, $D_1$ и$D_2$ — их дискриминанты($D_2\ne0$), то $$ \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{a_1x^2+b_1x+c_1}{a_2x^2+b_2x+c_2}= \pm\dfrac{\sqrt{D_1}}{\sqrt{D_2}}, $$ причём знак «плюс» берётся, если$x_0$ — больший корень каждого трёхчлена или меньший корень каждого трёхчлена, а знак «минус» — если$x_0$ является большим корнем одного трёхчлена и меньшим — другого.Куб первого двузначного числа равен квадрату второго двузначного числа. Второе число в
$n$ раз($n\in\mathbb{N}$) больше первого. Найдите эти двузначные числа.В шахматном турнире по круговой системе (т. е. каждый шахматист играет со всеми остальными по одному разу) при подведении итогов оказалось, что количества очков, набранных участниками, образуют арифметическую прогрессию. Сколько очков у чемпиона турнира, если «аутсайдер» набрал 2½ очка?
Существует ли четырёхзначное число
$\overline{abcd}$ такое, что$\overline{abcd}=\overline{ac\vphantom b}\cdot\overline{bd}$; $\overline{abcd}=\overline{ac\vphantom b}\cdot\overline{bd}+ \overline{ac\vphantom b}+\overline{bd}$?
Найти четырёхзначное число
$\overline{abcd}$, удовлетворяющее равенству $$ \overline{abcd}=8\cdot\overline{ab}\cdot(c+d). $$Найти три различные цифры
$a$, $b$ и$c$ такие, что $$ \overline{abc}=\overline{ba}\cdot\overline{bc}. $$
Ответы, указания, решения
- Указание. Если
$f(x)\ne0$, то и$f(x+ka)\ne0$ ($k\in\mathbb{Z}$) и $$ f(x)=\dfrac1{f(x+3a)}=f(x+6a). $$ - Указание. Ряд $$
1+\dfrac12+\dfrac13+\ldots+\dfrac1n+\ldots
$$
расходится, а если из него исключить члены
$\dfrac1k$, для которых в записи$k$ встречается цифра, скажем, 2, то ряд будет сходиться. С другой стороны, ряд из обратных величин простых чисел расходится — это следует из неравенств $$ \begin{gathered} 1+\dfrac12+\dfrac13+\ldots+\dfrac1n \lt\left(1+\dfrac12+\dfrac14+\ldots+\dfrac1{2^m}\right)\times{}\\ {}\times\left(1+\dfrac13+\dfrac19+\ldots+\dfrac1{3^m}\right)\ldots \left(1+\dfrac1{p_k}+\dfrac1{p_k^2}+\ldots+\dfrac1{p_k^m}\right)\lt\\ \lt\dfrac1{1-\dfrac12}\cdot\dfrac1{1-\dfrac13}\cdot\ldots\cdot \dfrac1{1-\dfrac1{p_k}},\\\\[-6pt] \lg\dfrac1{1-\dfrac1p}\lt\dfrac1p,\\\\[-6pt] \lg\left(1+\dfrac12+\dfrac13+\ldots+\dfrac1n\right)\lt \dfrac12+\dfrac13+\ldots+\dfrac1{p_k}, \end{gathered} $$ где$p_k$ — простые числа,$p_k\le n\lt p_{k+1}$, $2^m\le n\lt2^{m+1}$. - 16 и 64.
- 7½, прогрессия имеет вид 2½, 3, 3½,
$\ldots$, 7½. - а) Нет; б) да, это число вида
$\overline{a999}$. - 1976.
$\overline{abc}=624$.