Задачи наших читателейЗадачи наших читателей // Квант. — 1978. — № 2. — С. 53.‍‍

Докажите, что

1. $$\dfrac{2\cdot1+1}{1^2\cdot2^2}+\dfrac{2\cdot2+1}{2^2\cdot3^2}+ \dfrac{2\cdot3+1}{3^2\cdot4^2}+\ldots+\dfrac{2\cdot1977+1}{1977^2\cdot1978^2}= \dfrac{1977\cdot1979}{1978^2}.$$
2. $$\arctg\dfrac\alpha{\alpha^2+1\cdot2}+ \arctg\dfrac\alpha{\alpha^2+2\cdot3}+\ldots+ \arctg\dfrac\alpha{\alpha^2+1977\cdot1978}= \arctg\dfrac{1977\alpha}{\alpha^2+1978}.$$

Н. Адигёзалов

Докажите. что если $k$‍,‍ $l$‍,‍ $p$‍‍ и $q$‍‍ — натуральные числа, то

1. из $k+l\ge p+q$‍‍ следует, что $\left(\dfrac pk\right)^k\cdot\left( \dfrac ql\right)^l\le1$‍;‍
2. из $k+l+n\ge p+q$‍‍ следует, что $\left(\dfrac pk\right)^k\cdot\left( \dfrac ql\right)^l\le e^n$‍.‍

Я. Суконник

Найдите сумму

1. $$C_0^0+\dfrac14C_2^1+\dfrac1{16}C_4^2+\ldots+\dfrac1{4^k}C_{2k}^k;$$
2. $$C_{2n+1}^0+\dfrac13C_{2n+1}^2+\dfrac15C_{2n+1}^4+\ldots+\dfrac1{2n+1} C_{2n+1}^{2n}.$$

А. Резников

Докажите, что $$ C_0^0C_{2n}^n+C_2^1C_{2(n-1)}^{n-1}+C_4^2C_{2(n-2)}^{n-2}+\ldots+ C_{2n}^nC_0^0=4^n. $$

С. Конягин