Изображения страниц
Текст статьи Задачи наших читателей // Квант. — 1978. — № 2. — С. 38.
- Докажите, что если $$ \begin{gathered} 0\lt a_1\le a_2\le a_3\le\ldots\le a_n;\\ b_1\ge b_2\ge b_3\ge\ldots\ge b_n\gt0, \end{gathered} $$ то выполняется неравенство $$ \dfrac{a_1}{b_1}+\dfrac{a_2}{b_2}+\dfrac{a_3}{b_3}+\ldots+\dfrac{a_n}{b_n}\ge \dfrac{n(a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n)}{b_1+b_2+b_2+\ldots+b_n}. $$
Найдите наименьшее значение суммы $$ \tg^2\alpha_1+\tg^2\alpha_2+\tg^2\alpha_3+\ldots+\tg^2\alpha_n, $$ если $$ \sin^2\alpha_1+\sin^2\alpha_2+\sin^2\alpha_3+\ldots+\sin^2\alpha_n=\dfrac n2 $$
($i=1$, 2, 3,$\ldots$, $n$). Докажите, что
- если
$a$, $b$ и$c$ — длины сторон треугольника, то $$ a^2+b^2\gt\dfrac12c^2; $$ - если
$a$, $b$, $c$ и$d$ — длины сторон параллелепипеда и одной из его диагоналей, то $$ a^2+b^2+c^2\gt\dfrac13d^2. $$
- если
Докажите, что в произвольном треугольнике $$ S^3\le\dfrac{P^7}{2^{15}\cdot R}, $$ где
$S$ — его площадь,$P$ — периметр, а$R$ — радиус описанной около него окружности.