Изображения страниц
Текст статьи Задачи наших читателей // Квант. — 1978. — № 10. — С. 24.
Найти пары чисел
$m$, $n$, отвечающие закономерности- $$3=\dfrac{2\cdot3}{1\cdot2}=\dfrac{9\cdot10}{5\cdot6}=\ldots= \dfrac{m(m+1)}{n(n+1)}=\ldots=\dfrac{6887\cdot6888}{3976\cdot3977}=\ldots; $$
- $$2=\dfrac{3\cdot4}{2\cdot3}=\dfrac{20\cdot21}{14\cdot15}=\ldots= \dfrac{m(m+1)}{n(n+1)}=\ldots$$
Если к двузначному числу приписать слева число на единицу большее, то полученное число будет полным квадратом. Найти исходное число.
Докажите неравенство $$ \sum\limits_{k=1}^n\dfrac1{\sqrt[3]{k^2}+\sqrt[3]{k^2+k-1}+ \sqrt[3]{k^2+2k-2}}\gt\sqrt[3]{n+1}-1. $$
Пусть
$O$ — центр окружности, описанной около треугольника$ABC$, $AA_0$, $BB_0$, $CC_0$ — его высоты,$A_1$, $B_1$ и$C_1$ — проекции точек$A_0$, $B_0$ и$C_0$ на прямые$AO$, $BO$ и$CO$ соответственно. Докажите, что тогда одна из величин$|A_0A_1|\cdot|BC|^4$, $|B_0B_1|\cdot|CA|^4$, $|C_0C_1|\cdot|AB|^4$ равна сумме двух других.