Задачи наших читателейЗадачи наших читателей // Квант. — 1977. — № 8. — С. 56.‍‍

Функция $f$‍‍ определена и непрерывна на всей числовой прямой. Про эту функцию известно, если $x_2-x_1$‍‍ — число рациональное, то и $f(x_2)-f(x_1)$‍‍ — число рациональное. Доказать, что $f(x)=kx+b$‍,‍ причём $k$‍‍ рационально.

Примечание. Напомним два свойства непрерывных функций, которые могут пригодиться при решении этой задачи:

1. сумма и разность двух непрерывных функций — функции непрерывные;
2. если $a\lt c\lt b$‍‍ и непрерывная функция принимает значения $a$‍‍ и $b$‍,‍ то она принимает и значение $c$‍.‍

В. Произволов (г. Москва)

Существуют ли четыре натуральных числа, сумма которых равна их произведению?

С. Сефибеков (село Кашкент Даг. АССР)

В кубе провели все диагонали (внутри куба и во всех гранях). Сколькими способами среди проведённых 16 отрезков можно выбрать пару взаимно перпендикулярных?

В. Федотов (г. Петрозаводск)