Изображения страниц
Текст статьи Задачи наших читателей // Квант. — 1977. — № 8. — С. 37.
Дан треугольник
$ABC$ площади$S$, в котором$|AB|=c$, $|BC|=a$, $|CA|=b$, $p$ — полупериметр,$p_a=p-a$, $p_b=p-b$, $p_c=p-c$; $r_a$, $r_b$, $r_c$ — радиусы вневписанных окружностей, касающихся соответственно сторон$BC$, $CA$, $AB$; $R$ — радиус описанной окружности,$r$ — радиус вписанной окружности.Доказать, что
- $$\dfrac{p_a} {\cos\dfrac{\widehat A}2\sin\dfrac{\widehat B}2\sin\dfrac{\widehat C}2}= \dfrac{p_b} {\sin\dfrac{\widehat A}2\cos\dfrac{\widehat B}2\sin\dfrac{\widehat C}2}= \dfrac{p_c} {\sin\dfrac{\widehat A}2\sin\dfrac{\widehat B}2\cos\dfrac{\widehat C}2}= 4R;$$
- $$\dfrac{r_a} {\sin\dfrac{\widehat A}2\cos\dfrac{\widehat B}2\cos\dfrac{\widehat C}2}= \dfrac{r_b} {\cos\dfrac{\widehat A}2\sin\dfrac{\widehat B}2\cos\dfrac{\widehat C}2}= \dfrac{r_c} {\cos\dfrac{\widehat A}2\cos\dfrac{\widehat B}2\sin\dfrac{\widehat C}2}= 4R;$$
- $$r_a\tg\dfrac{\widehat B}2\tg\dfrac{\widehat C}2= r_b\tg\dfrac{\widehat C}2\tg\dfrac{\widehat A}2= r_c\tg\dfrac{\widehat A}2\tg\dfrac{\widehat B}2=r;$$
- $$S= r_a^2\ctg\dfrac{\widehat A}2\tg\dfrac{\widehat B}2\tg\dfrac{\widehat C}2= r_b^2\ctg\dfrac{\widehat B}2\tg\dfrac{\widehat C}2\tg\dfrac{\widehat A}2= r_c^2\ctg\dfrac{\widehat C}2\tg\dfrac{\widehat A}2\tg\dfrac{\widehat B}2; $$
- $$S= p_a^2\tg\dfrac{\widehat A}2\ctg\dfrac{\widehat B}2\ctg\dfrac{\widehat C}2= p_b^2\tg\dfrac{\widehat B}2\ctg\dfrac{\widehat C}2\ctg\dfrac{\widehat A}2= p_c^2\tg\dfrac{\widehat C}2\ctg\dfrac{\widehat A}2\ctg\dfrac{\widehat B}2; $$
- $$\dfrac{\tg\dfrac{\widehat A}2}{r_a^2}+ \dfrac{\tg\dfrac{\widehat b}2}{r_b^2}+ \dfrac{\tg\dfrac{\widehat C}2}{r_c^2}=\dfrac1S;$$
- $$\dfrac1{p_ap_b}+\dfrac1{p_bp_c}+\dfrac1{p_cp_a}= \dfrac1{r^2}.$$
В системе $$ \left\{\begin{array}{l} 2\cdot\overline{\text{он}}=\overline{\text{тук}},\\ 7\cdot\overline{\text{трон}}=\overline{\text{туктук}} \end{array}\right. $$ разным буквам соответствуют разные, отличные от нуля цифры. Определить, какое четырёхзначное число соответствует слову «трон».
Доказать, что при любом натуральном
$t$ значение многочлена$36t^4+48t^3+40t^2+16t+5$ является составным числом.