Задачи наших читателейЗадачи наших читателей // Квант. — 1977. — № 7. — С. 45.‍‍

Последовательность $\{a_n\}$‍‍ определена следующим образом: $a_1=\dfrac12$‍,‍ $a_2=\dfrac13$‍,‍ $a_{n+1}$‍‍ равно последней дроби в разложении $a_{n-1}+a_n$‍‍ в цепную дробь. Например, $$ a_1+a_2=\dfrac12+\dfrac13=\dfrac1{1+\dfrac15}, $$ поэтому $a_3=\dfrac15$‍‍ и т. д.

1. Чему равно $a_{1000}$‍?‍
2. Всегда ли $a_k$‍‍ будет обратно простому числу?

П. Кирей (г. Николаев)