Изображения страниц
Текст статьи Задачи наших читателей // Квант. — 1977. — № 4. — С. 23.
По дороге едут с одинаковыми скоростями две одинаковые автомашины. Одна машина везёт тяжёлый груз, а другая идёт порожняком. Если машины одновременно начнут тормозить так, что пойдут «юзом» (колёса у них не будут крутиться), то какая из них остановится раньше?
-
Однородный стержень закреплён в центре тяжести так, что он может легко вращаться в вертикальной плоскости. К концам стержня прикреплены одинаковые грузы. Такая система в любом положении находится в состоянии равновесия. А рычажные весы, на обеих чашках которых лежат одинаковые грузы, устанавливаются только горизонтально. Как вы думаете, почему?
Доказать, что если в треугольнике
$ABC$ для длин$a$, $b$, $c$ его сторон выполняются неравенства$c\gt b\gt a$ и$\beta_A$, $\beta_B$, $\beta_C$ — длины биссектрис внутренних углов,$\beta_A'$, $\beta_B'$, $\beta_C'$ — длины биссектрис внешних углов,$h_a$, $h_b$, $h_c$ — длины высот, то справедливы следующие равенства:$\dfrac1{a\beta_A\beta_A'}+\dfrac1{c\beta_C\beta_C'}= \dfrac1{b\beta_B\beta_B'}$; $\dfrac{h_a}{\beta_A\beta_A'}+\dfrac{h_c}{\beta_C\beta_C'}= \dfrac{h_b}{\beta_B\beta_B'}$.
Ответы, указания, решения
- Сила трения колёс о дорогу пропорциональна весу машины
($|\overrightarrow{F_{\text{тр}}}|=km|\overrightarrow{g}|$, где$k$ — коэффициент трения,$m$ — масса машины). Следовательно, ускорения, сообщаемые машинам, не зависят от их масс($|\overrightarrow{a}|=k|\overrightarrow{g}|$) и одинаковы. Поэтому машины остановятся одновременно. Коромысло рычажных весов следует делать такой конфигурации, чтобы при равных грузах на чашках сумма моментов сил тяжести, действующих на грузы, была равна нулю тогда и только тогда, когда коромысло находится в горизонтальном положении. Например, как на рисунке 4. В этом случае плечи
$p_1$ и$p_2$ сил$\overrightarrow{F_1}$ и$\overrightarrow{F_2}$ равны$p_1=p_2=l_1+l_2\cos\alpha$. Если$\overrightarrow{F_1}= \overrightarrow{F_2}$, то сумма моментов этих сил равна нулю.
Рис. 4 
Рис. 5 Предположим, что при
$\overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{F_2}$ коромысло отклонено от горизонтального положения (рис. 5). Тогда $$ \begin{gather*} p_1=l_1\cos\alpha+l_2\sin(\alpha+\Delta\alpha),\\ p_2=l_1\cos\alpha+l_2\sin(\alpha-\Delta\alpha). \end{gather*} $$ Очевидно,$0\le\alpha-\Delta\alpha\lt\alpha+\Delta\alpha\lt\dfrac\pi2$, поэтому$\sin(\alpha-\Delta\alpha)\lt\sin(\alpha+\Delta\alpha)$. Следовательно,$p_1\gt p_2$, и результирующий момент стремится повернуть коромысло в горизонтальное положение.
