Изображения страниц
Текст статьи Задачи наших читателей // Квант. — 1977. — № 2. — С. 9.
Среди 15 одинаковых по виду шариков имеется один «бракованный», отличающийся от всех остальных по весу, и один отмеченный «стандартный».
Как найти «бракованный» шар не более чем тремя взвешиваниями на чашечных весах (без гирь)?
Прямые, проходящие через основания высот
$BB_0$ и$CC_0$ треугольника$ABC$, параллельны стороне$BC$ и пересекают стороны$AB$ и$CA$ (или их продолжения) соответственно в точках$C_1$ и$B_1$. Докажите, что- $$|B_0C_1|\cdot|B_1C_0|=|B_0C_0|^2;$$
- $$|B_1C_1|^2=|B_0B_1|^2+|C_0C_1|^2+|B_0C_0|^2.$$
Доказать неравенства $$ 1{,}71\lt1+\dfrac1{2!}+\dfrac1{3!}+\ldots+\dfrac1{n!}\lt1{,}72. $$
Решить уравнения
$x^5=\overline{yyyx}$; $(x+y)^2=\overline{xy}$; $(\overline{xx})^2=\overline{yzt\dfrac x2}$;
В тетраэдре
$ABCD$ точки$A'$, $B'$, $C'$, $D'$ — центры окружностей, описанных около граней$BCD$, $CDA$, $DAB$, $ABC$ соответственно. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из вершин$A$, $B$, $C$, $D$ соответственно на плоскости$B'C'D'$, $C'D'A'$, $D'A'B'$, $A'B'C'$, пересекаются в одной точке.