Изображения страниц
Текст статьи Задачи наших читателей // Квант. — 1977. — № 10. — С. 63.
Решить уравнение $$ \sin^21917x+\dfrac14\sin^21977x=\sin1917x\cdot\sin^21977x. $$
Пусть
$S$ — площадь треугольника$ABC$, $a=|BC|$, $b=|AC|$, $c=|AB|$, $G_a$, $G_b$, $G_c$ — точки касания вписанной окружности со сторонами$BC$, $AC$ и$AB$ соответственно,$h_a$, $h_b$, $h_c$ — длины высот, опущенных на эти же стороны или их продолжения. Докажите, что- $$S=\dfrac12\sqrt{ab|G_aG_b|^2+bc|G_bG_c|^2+ac|G_aG_c|^2};$$
- $$S=\dfrac12\left(\dfrac{|G_aG_b|^2}{\sin\widehat C}+\dfrac {|G_bG_c|^2}{\sin\widehat A}+\dfrac{|G_aG_c|^2}{\sin\widehat B}\right);$$
- $$\dfrac{|G_aG_b|^2}{h_ah_b}+\dfrac{|G_bG_c|^2}{h_bh_c}+ \dfrac{|G_aG_c|^2}{h_ah_c}=1.$$
Сумма двух двузначных чисел вдвое больше третьего, у которого число десятков равно числу десятков первого, а число единиц — числу единиц второго.
Доказать, что все эти числа равны друг другу.
Найти однозначные числа
$x$, $y$, удовлетворяющие уравнению $$ \dfrac1{x^y}=\dfrac{x+y}{1000}. $$Найти все натуральные
$n$, при которых справедливо неравенство $$ 9^n+10^n\gt12^n. $$
Ответы, указания, решения
$x=\dfrac{\pi m}3$ ($m\in\mathbb{Z}$). Указание. Рассмотрите уравнение как квадратичное относительно$\sin1977x$, найдите$x$ из полученных значений$\sin1977x$ и$\sin1917x$ и сравните их.$x=5$, $y=3$. $n=1$, 2, 3. Указание. Функция$f(n)=\left(\dfrac9{12}\right)^n+\left(\dfrac{10}{12}\right)^n$ монотонно убывает.