Изображения страниц
Текст статьи Задачи наших читателей // Квант. — 1976. — № 9. — С. 65.
Дана трапеция, площадь которой равна
$S$, отношение оснований равно$a:b$ ($b\gt a$). Найти pacстояние от вершины при меньшем основании до отрезка прямой, соединяющего середины оснований, если длина этого отрезка равна$d$. Что больше:
$A=1{,}000001^{0,999999}\cdot0{,}999999^{1,000001}$ или 1?Докажите, что замкнутая ломаная из 64 звеньев, которая образуется при обходе конём шахматной доски с заходом в каждую клетку,
- не может иметь ось симметрии 4-го порядка;
- не может иметь ось симметрии, проходящую через середины противоположных сторон доски.
В прямоугольном треугольнике
$ABC$ основание перпендикуляра, опущенного из точки пересечения медиан на катет$BC$, соединено с вершиной угла$A$. Найти угол$B$, если известно, что полученный отрезок — биссектриса угла$A$. В прямоугольный треугольник с острым углом
$30^\circ$ вписана окружность. Точки касания делят окружность на три дуги. Докажите, что отношение их длин можно представить в виде$p:(p+1):(p+2)$, где$p$ — некоторое натуральное число. Для каких ещё треугольников это верно?
Ответы, указания, решения
- Ответ:
$\dfrac{Sa}{d(a+b)}$. Указание. Продолжить боковые стороны трапеции до пересечения и воспользоваться подобием полученных треугольников. $A\lt1$. - Ответ:
$\widehat B=30^\circ$. Указание. Легко найти отношение$|AC|:|AB|$, оно равно$1:2$.